1 為什么要探討線性化

注：這里所說的線性化，包括下面會用到的"Exact Linearization", 都是指基于一階泰勒展開的線性化近似，而不是基于微分幾何的全局線性化或者輸出反饋線性化。

很多人看到這個題目，或許第一感覺會是：“為什么要研究線性化？線性化不就是一階泰勒展開嗎？這再簡單不過了，用小學(xué)數(shù)學(xué)就好啦！”

在理論上，這一點也沒錯。比如我們要在原點線性化如下的非線性模型，相信大多數(shù)人不假思索的就能告訴我：線性化的結(jié)果是 y = u。

既然如此，我們?yōu)槭裁催€要探討線性化呢? 答案很簡單，上面一個例子是理論上的，也就是經(jīng)過很大程度上簡化了的，幾乎完美的。

那么實際上，工程中需要線性化的問題是什么樣的呢？

假如有這樣一個航天飛機的模型。工程師現(xiàn)在想把控制器參數(shù)優(yōu)化一下。為此，他需要線性化從飛機控制器的輸入到導(dǎo)航控制器的輸入之間這個可能含有幾千個模塊，幾萬個信號的子系統(tǒng)。

很顯然，想要解析的泰勒展開這樣一個模型，在實際中是相當(dāng)費時費力的。

那么，我們來看看難點都在哪：

1. 沒有非線性方程

理論上，動態(tài)系統(tǒng)總是可以用光滑的ODE來建模。而實際上，在工程應(yīng)用中，系統(tǒng)往往是用框圖來搭建的，比如用Simulink等軟件。 用框圖來建模有非常多的好處，比如可以方便的模塊化，通過觀察某個具體的信號值來debug, 還有其他的好處就不一一列舉了。但是像這樣復(fù)雜的框圖模型是很難等價的轉(zhuǎn)化成一組非線性方程組的。甚至有些模塊，根本就不存在解析表達式。所以，很難對一個非線性方程去求偏導(dǎo)數(shù)來獲得泰勒一階展開項。

2. 不光滑

有些模塊或許存在解析數(shù)學(xué)表達式，但是根本不可導(dǎo)；有些可能存在大量的奇異點；有些甚至導(dǎo)數(shù)無從定義，比如enabled subsystem, triggered subsystem等。

3. 多重采樣時間

在很多實際模型里面，有些模塊是連續(xù)的，例如積分器。有些模塊是離散的，采樣時間可以是0.1秒，可以是10秒，甚至可以是無窮大，比如constant block。那么，最后線性化出來的系統(tǒng)到底應(yīng)該是連續(xù)的，還是離散的？

4. 牽一發(fā)而動全局

假設(shè)，在最理想的情況下：我們真的把這個模型對應(yīng)的非線性方程組表示出來了， 并且最終驗證了模型的準(zhǔn)確性，然后成功的進行了線性化。可是，第二天模型的作者表示：”我把某幾個子系統(tǒng)里的幾條信號刪掉了，然后把其它幾條信號的連接方式重新設(shè)計了一下，你再幫我泰勒展開一下吧“。很不幸，這很大程度上意味著我們之前的解析方程組被徹底改變了，所有的工作需要重頭在來過。這樣的分析方式在實際的工程開發(fā)中是很不現(xiàn)實的，因為時間成本太高。

2 數(shù)值擾動

既然解析方法不行，那么應(yīng)該怎么做呢？

一個比較傳統(tǒng)而且有效的方法是數(shù)值擾動。

來看看第一個例子：

我們可以在輸入端輸入一個常數(shù)，比如說du = 0.1。 然后， 我們測量輸出信號，發(fā)現(xiàn)：

dy = 0.0998

兩者相除，我們得到了一個基于數(shù)值線性化的結(jié)果：

y = 0.998*u

如果用更小的du，事實上我們可以得到更精確的結(jié)果。

現(xiàn)在這個方法看起來比解析方法好用了很多。在某種程度上，它的思想其實就是把整個系統(tǒng)當(dāng)成是一個黑箱，通過輸入輸出來進行辨識。

事實上，對于比較小和比較簡單的模型，數(shù)值擾動的效果都還是不錯的。

1. 延時的處理

在這個例子中，“黑箱”里有一個隱藏的很深的延時模塊。在這種情況下，我們給這個系統(tǒng)提供擾動輸入，然后去測量輸出的時候，會發(fā)現(xiàn)輸出信號過了很久都沒有發(fā)生變化。由此，我們很有可能會錯誤的把這個系統(tǒng)線性化成一個0增益！ 當(dāng)然了，如果事先能知道其中有一個這樣的Delay block，是可以采取一些措施來進行更好的辨識的。但即使如此，自動控制原理告訴我們，在頻域上逼近一個Delay Block的一個很好的方式是用Pade Approximation。 但是這種逼近用數(shù)值擾動是很難做到的，特別是對于復(fù)雜的，含有多個具有不同時間長度的延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)。

現(xiàn)在，你也許已經(jīng)可以看出此處存在的一個矛盾： 數(shù)值擾動是把整個模型當(dāng)成一個黑箱，不需要知道黑箱里面的信息；但是我們實際上是知道這個黑箱里所有模塊的具體情況的?？墒沁@些信息在數(shù)值擾動的過程中沒法有效的利用上。

2. 一些特殊的模塊

再看看下面這個例子：

如我們用數(shù)值擾動來線性化這個模型，那么我們會遇到兩個不同的情況：

擾動的足夠小，我們得到的是一個0增益的線性化結(jié)果；

擾動信號大到一定的程度，我們會得到一個線性的關(guān)系。

那么，哪個結(jié)果是對的呢？

答案是：都對，也都不對。這取決于用戶的具體問題。

如果用戶故意用這樣一組quantizer, 目的就是想分析在一個很小的范圍內(nèi)此模型的動態(tài)。在此情況下，a是所期望的。還有一種可能，就是用戶本身是不想用Quantizer的，但是在用數(shù)字電路實現(xiàn)某個部件的時候，不得已的讓一個本來應(yīng)該是線性增益的關(guān)系變成了這樣的Quantization的結(jié)果。那么在這種情況，b是用戶所期望的。

對于這樣一個特殊的模塊，我們的確可以通過調(diào)整干擾信號的大小來得到不同的結(jié)果。但是假設(shè)有無數(shù)多個類似這樣的模塊存在于某個模型中，有些模塊是屬于情況a，有些屬于情況b，那么整個基于數(shù)值擾動的線性化結(jié)果就無法如用戶所期望的了。

Simulink Control Design和Block-by-Block

Simulink Control Design工具箱的一大特點就是它提供了Block-by-Block的線性化方法。這個方法有時也叫Exact Linearization（不同于基于微分幾何的全局線性化）。簡單來講，在線性化的過程中，每個模塊會先被線性化，算出各自的Jacobian矩陣。然后由Simulink Control Design工具箱把這些信息有效的整合在一起（這是一個非常復(fù)雜的過程），從而計算出整個模型的線性化結(jié)果。

看下面這個例子：

線性化通路上有3個模塊，他們的Jacobian分別是cos(0) = 1, n階的pade approximation的狀態(tài)空間表達式和1。那么對于這個簡單的系統(tǒng)而言，整個線性化的結(jié)果就是這三個線性系統(tǒng)的級聯(lián)。

在第二個例子中：

用戶可以打開Quantizer的窗口：

把Treat as gain when linearizing的選項打上勾，這樣就會使得這個模塊被線性化成一個線性增益。

Simulink Control Design工具箱還帶有各種高級的功能。例如，對于一些很難線性化的模塊，用戶可以自己配置此模塊的線性化結(jié)果，用于整個模型或者子系統(tǒng)的線性化。