為什么電容、電感的阻抗表達(dá)式要用虛數(shù)？

為什么在傅立葉變換中要有虛數(shù)？

為什么在濾波器的傳遞函數(shù)中會(huì)出現(xiàn)虛數(shù)？

最初遇到“虛數(shù)”的概念是在高中數(shù)學(xué)中，我大概將它看成一維（實(shí)數(shù)）到二維的擴(kuò)展。書(shū)上也就是畫(huà)成兩個(gè)坐標(biāo)軸來(lái)表示復(fù)數(shù)嘛。那么，為什么只有一個(gè)虛數(shù)單位 i， 沒(méi)有再定義一個(gè)更高級(jí)的復(fù)數(shù)來(lái)描述三維空間呢？從來(lái)沒(méi)想過(guò)。

大學(xué)學(xué)了高等代數(shù)，補(bǔ)充了復(fù)數(shù)域，多項(xiàng)式這些知識(shí)后大概知道為什么要發(fā)明出復(fù)數(shù)來(lái)補(bǔ)充實(shí)數(shù)的不足了。至于維數(shù)的擴(kuò)展，也不是復(fù)數(shù)的用途。再后來(lái)，學(xué)了傅立葉變換之后，我對(duì)為什么要用復(fù)數(shù)來(lái)表示信號(hào)仍然沒(méi)有理解。數(shù)學(xué)上這沒(méi)有問(wèn)題，數(shù)學(xué)是對(duì)世界的一種描述，是抽象出來(lái)的，又如直線、空間等等概念也是抽象出來(lái)的。但現(xiàn)實(shí)世界里面的物理量，電流電壓都是實(shí)際存在的，哪來(lái)的虛部呢（別扯到量子物理，不在電子工程討論范圍）？ 更后來(lái)修《小波分析》課的時(shí)候，有個(gè)同學(xué)在課間問(wèn)了這個(gè)問(wèn)題，老師說(shuō)的是“采兩個(gè)信號(hào)”的意思?？墒?，畢竟復(fù)信號(hào)和二維信號(hào)不是一個(gè)處理方法呀。

自學(xué)了些電路基礎(chǔ)，我才發(fā)現(xiàn)在電路里面用虛數(shù)是提供了很大的方便。如果不用虛數(shù)，就沒(méi)法對(duì)電容、電感使用歐姆定律了。

借用了虛數(shù)，將電感、電容中的電抗成分（就是和純電阻不一樣的那個(gè)交流特性）計(jì)成歐姆單位

然后，歐姆定律、戴維南定理等等都可以照樣用了，甚是方便，只不過(guò)把電壓、電流也要換成復(fù)數(shù)了。

什么，電壓能有個(gè)虛部？示波器能看到這個(gè)虛部嗎？

反過(guò)來(lái)看，若不引入虛數(shù)的話，怎么處理電路中的電感和電容呢？那必然是要使用微分方程、積分方程來(lái)表達(dá)電壓和電流的關(guān)系。的確不方便啊，求解穩(wěn)態(tài)電路這樣就費(fèi)太多工夫了。借助拉普拉斯變換工具，看輸入和輸出關(guān)系的話，就又出來(lái)虛數(shù)了。

交流電是隨時(shí)間變化的，若用正弦函數(shù)來(lái)表達(dá)，u=Asin（ωt+θ） 就包含了幅度、頻率和相位三個(gè)量。電容和電感會(huì)改變交流電的相位，因此在分析頻率特性的時(shí)候，僅用幅度描述是不夠的。虛數(shù)因?yàn)榭梢员硎緸榉岛拖嘟堑男问?，剛好可以刻?huà)交流電輸入和輸出的關(guān)系。

說(shuō)到底，這還是一個(gè)數(shù)學(xué)工具在解釋世界。正弦波就正弦波嘛，一定要虛數(shù)么？Euler 公式

看起來(lái)很漂亮，但是對(duì)交流信號(hào)，那個(gè)憑空整出來(lái)的虛部又是什么意思？電場(chǎng)能是實(shí)部，磁場(chǎng)能是虛部？不對(duì)。

畢業(yè)數(shù)年以后，我對(duì)這個(gè)疑問(wèn)的解釋是如下這樣：

世界有兩種最基本的運(yùn)動(dòng)形式：一種是勻速直線運(yùn)動(dòng)，一種是勻速圓周運(yùn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）。轉(zhuǎn)動(dòng)就有了半徑、周期。如果認(rèn)為勻速直線運(yùn)動(dòng)是一種恒定狀態(tài)，那么勻速轉(zhuǎn)動(dòng)也屬于恒定的——周而復(fù)始，你只要知道了它的無(wú)限短的一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)，就能知道它的過(guò)去和未來(lái)。

也就是說(shuō)，一個(gè)單一頻率的信號(hào)是可以用一個(gè)恒定轉(zhuǎn)速的圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)代表的。

在平面上看這個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，它的軌跡是一個(gè)圓。

如果增加一個(gè)時(shí)間維度，想象一下，看起來(lái)是什么樣子？

一圈一圈的螺線，對(duì)了吧，沿著時(shí)間軸方向的。

再側(cè)過(guò)來(lái)一些看，更清楚一點(diǎn)：

再換個(gè)角度：

當(dāng)垂直于時(shí)間軸去“看”這個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，看到什么呢？

正弦型??！ 換個(gè)角度也可以看到是這樣的：

注意，正弦函數(shù)的相位發(fā)生了變化。

當(dāng)我們觀察到一個(gè)正弦形的信號(hào)（電壓、電流，也可以是其它的物理量），所觀察到的認(rèn)為是它的實(shí)部。假設(shè)（用腦補(bǔ)一下）這個(gè)信號(hào)其實(shí)是一個(gè)在轉(zhuǎn)動(dòng)的信號(hào)，它還有一個(gè)對(duì)應(yīng)的虛部看不見(jiàn)。 正弦信號(hào)經(jīng)過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)（黑盒子）出來(lái)之后，除了轉(zhuǎn)動(dòng)半徑（幅度）可能發(fā)生改變外，轉(zhuǎn)角也會(huì)發(fā)生偏移，于是被我們觀察到的波形也產(chǎn)生了相位差。隨著我們觀察角度的不同，初始相位也可以不同，但是輸入和輸出的相位差是穩(wěn)定的。

總結(jié)：能夠被觀察到的信號(hào)是實(shí)的，然而在補(bǔ)充了一個(gè)不存在的虛部之后，信號(hào)從來(lái)回振蕩的形式變成了更簡(jiǎn)單更基本的圓周運(yùn)動(dòng)。復(fù)雜的信號(hào)也可以分解為很多乃至無(wú)窮多個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的疊加，我們總是從某個(gè)固定的角度去觀察的。在描述兩個(gè)同頻的圓周運(yùn)動(dòng)的相對(duì)關(guān)系（比如輸入和輸出）時(shí)，使用虛數(shù)可以更方便地表達(dá)幅度和相角的差異。

編輯：hfy