什么是振動？簡單的說，就是某個物理量的值隨時間周期變化的現(xiàn)象。

振動的物理量隨時間周期變化的曲線叫振動曲線，例如（仔細(xì)看，周期是存在的哦）

最常見的振動是機(jī)械振動，隨時間周期變化的那個物理量是位置。質(zhì)點(diǎn)的位置是一個時間的函數(shù)，對于一般的運(yùn)動來說，它就是一個矢量函數(shù)，即

它也被稱作運(yùn)動方程。對于機(jī)械振動來說，由于位置是周期性變化的，運(yùn)動方程應(yīng)該是一個時間的周期函數(shù)。

機(jī)械振動非常直觀，但它并非振動的全部，廣義的振動可以是任何物理量隨時間的周期變化。

例如，一天中，早上溫度最低，隨著太陽升起，溫度逐漸上升，到下午2點(diǎn)左右，溫度達(dá)到最高，然后開始降低，直到第二天早上達(dá)到最低，如此反復(fù)。

更簡單的例子，擺動的吊燈，相對于豎直線的偏離角度，隨時間來回往復(fù)的變化。類似的，一個持續(xù)擺動的牛頓擺也是如此。

01

幾個振動的例子

下面來仔細(xì)看幾個振動的例子。

一個球豎直上拋后落下，與地面彈性碰撞后彈起，再落下又彈起，這個過程就是一個典型的振動過程。以上拋點(diǎn)為原點(diǎn)，向上為軸，則其振動曲線如下，它由一段段完全相同的拋物線拼接而成。

溫馨提示：由于實(shí)際的機(jī)械振動曲線中，不可能出現(xiàn)速度不存在的點(diǎn)——例如圖中那些導(dǎo)數(shù)不存在的地方。所以，這里列舉的幾個振動只是理論上的振動曲線，作為機(jī)械振動是不可能真實(shí)存在的。

設(shè)上圖中每一段拋物線的寬度為，高為。你能寫出描述該振動的函數(shù)嗎？看起來很難，因?yàn)樗皇且粋€普通的周期函數(shù)，不信你可以試試。

太復(fù)雜？那就來個更簡單點(diǎn)的吧，看下面的振動曲線，某個物理量隨時間變化如下

曲線中的三角形都是全等正三角形，邊長為。是不是仍然無法寫出它的函數(shù)？

的確，除非你借助那些特殊的函數(shù)，例如對內(nèi)的部分，可表示為

溫馨提示：這里面的和圍起來是floor函數(shù)的符號，它是用來取整的。

否則，你還真沒辦法寫出它的表達(dá)式。

再看一種更簡單的振動曲線，某物理量隨時間變化如下

設(shè)曲線的每一段長度都為。你能寫出這個函數(shù)嗎？

再次抱歉，你同樣寫不出來！除非你借助符號函數(shù)將其寫成

溫馨提示：的定義為：稱作符號函數(shù)。

看到了吧，那些看起來很直觀的振動，其運(yùn)動方程卻都如此復(fù)雜！

看來，從數(shù)學(xué)上講，這幾個振動都不太好對付啊。

那么，有沒有簡單一點(diǎn)的振動呢？

02

勻速圓周運(yùn)動與簡諧振動

仔細(xì)想一下，什么樣的振動可能是最簡單的振動呢？

別忘了，振動的一般定義是物理量隨時間周期變化的運(yùn)動，不要總想著沿一個維度左右、上下來回的運(yùn)動，思路放開一點(diǎn)嘛！

繞著一個閉合路徑做周期運(yùn)動算不算振動？當(dāng)然算！

矮油！這么一提示，頓時就想到了，它不就是勻速圓周運(yùn)動嘛！

沒錯，我相信大多數(shù)人認(rèn)為非它莫屬！是啊，還有什么周期運(yùn)動有勻速圓周運(yùn)動這般簡單和諧？！

設(shè)勻速圓周運(yùn)動的角速度為，則每隔的時間，質(zhì)點(diǎn)重回原位。運(yùn)動具有周期性，所以圓周運(yùn)動的確是振動！一種極為特殊的振動！

既然勻速圓周運(yùn)動如此簡單，那么它的運(yùn)動方程是什么呢？

設(shè)其圓周的半徑為，角速度為，設(shè)零時刻，它相對軸的正向已轉(zhuǎn)過了角，則運(yùn)動方程為：

搞半天，就只有勻速圓周運(yùn)動能用一個比較簡單的周期函數(shù)表示。

那么，勻速圓周運(yùn)動的振動方程意味著什么呢？

看看它所包含的東東——正弦和余弦函數(shù)！

物理上定義，位置隨時間按照正弦或余弦函數(shù)變化的振動叫做簡諧振動。其運(yùn)動方程可表示為或例如彈簧振子的振動和單擺的小角度擺動都呈現(xiàn)這種形式。

沒錯，勻速圓周運(yùn)動本身就是由兩個垂直的簡諧振動合成得到的，正因?yàn)樗膬蓚€分振動分別由正弦和余弦函數(shù)描述，所以勻速圓周運(yùn)動也是周期運(yùn)動！

現(xiàn)在你知道了，勻速圓周運(yùn)動不是最簡單的振動！因?yàn)樗瑑蓚€更基本的振動。

如下圖所示，可以看到，勻速圓周運(yùn)動沿著圓的任一條直徑上的分運(yùn)動就是一個簡諧振動。

受此啟發(fā)，設(shè)一個長度固定的矢量繞起點(diǎn)以角速度沿逆時針勻速轉(zhuǎn)動，它的箭頭在某條直徑上的投影的運(yùn)動是一個簡諧振動。換句話說，任何一個簡諧振動的背后總對應(yīng)著一個旋轉(zhuǎn)矢量，如下圖

但實(shí)際上，簡諧振動才是構(gòu)成勻速圓周運(yùn)動的基本元素，而不是相反。只不過對大多數(shù)人來說，勻速圓周運(yùn)動更易于理解，所以借助“旋轉(zhuǎn)矢量”，簡諧振動看起來更直觀。

03

正弦和余弦：最基本的周期函數(shù)

如此看來，只要用數(shù)學(xué)中的周期函數(shù)，或周期函數(shù)的組合，來構(gòu)建運(yùn)動方程，那么不就可以得到各種各樣的振動嗎？

那么，除了正弦和余弦，還有哪些周期函數(shù)呢？

周期函數(shù)，這么重要的一類函數(shù)，應(yīng)該很多吧？

趕緊翻數(shù)學(xué)手冊！

然而，結(jié)果有點(diǎn)令人意外！

除了正弦和余弦函數(shù)之外，要不就是一些由它倆構(gòu)造的周期函數(shù)，比如tan、ctan和sec等等；要不就是一些不光滑的周期函數(shù)——就像我前面列舉的三角和方形函數(shù)，它們根本無法代表真實(shí)的運(yùn)動。

換句話說，正弦和余弦函數(shù)就是唯二的倆周期函數(shù)！

難怪啊難怪，難怪一般的周期運(yùn)動都如此復(fù)雜，因?yàn)楦静淮嬖诤唵蔚闹芷诤瘮?shù)能夠描述它們；難怪勻速圓周運(yùn)動如此簡單！原來是因?yàn)樗膬蓚€振動成分是如此純粹！

呃，這個發(fā)現(xiàn)簡直太厲害了！

到此，你可能隱隱的感覺到：或許一切周期函數(shù)之所以能成為周期函數(shù)，本質(zhì)上都?xì)w結(jié)于正弦和余弦函數(shù)？

事實(shí)的確如此！周期函數(shù)之所以是周期函數(shù)，一切皆因正弦和余弦函數(shù)這對孿生兄弟！誰叫他倆是僅有的兩個“原創(chuàng)型”的光滑周期函數(shù)呢？

數(shù)學(xué)上可以證明，一個周期函數(shù)總可以通過若干個正弦和余弦函數(shù)組合來得到，即這就是傅里葉級數(shù)，其中系數(shù)(含)和為

舉個例子，下面這個函數(shù)的圖像看起來很復(fù)雜吧？

但實(shí)際上，此函數(shù)由三個余弦函數(shù)加起來得到，具體表達(dá)式是：你可用Matlab或者隨便一個在線繪圖工具來驗(yàn)證一下。

講到這里意識到，之所以任意周期函數(shù)都能用正弦和余弦函數(shù)的組合來表示，這不是因?yàn)樗鐐z多厲害，純粹是因?yàn)槲镆韵橘F——只有他倆是最簡單的周期函數(shù)。

換句話說，只有他倆才擁有周期的創(chuàng)始基因，但凡其他周期函數(shù)者，皆因他倆而起也，皆繼承于他倆，由他倆組合而得。

04

簡諧振動：最簡單的振動

既然一般的周期函數(shù)可看作由正弦和余弦函數(shù)組合而成，那么相應(yīng)的，任何一個一般的振動總可以看作是若干個正弦和余弦函數(shù)所表示的振動的合成。

不錯，正弦和余弦函數(shù)是周期函數(shù)的基本元素，它們所描述的振動是最基本、最簡單的振動！

例如，除勻速圓周運(yùn)動之外，周期的橢圓運(yùn)動也是由相互垂直的兩個簡諧振動合成得到。

而任意周期運(yùn)動，總可由若干個簡諧振動合成得到。例如，下面這種振動（藍(lán)色線）可看作是由多個頻率不同的簡諧振動合成的，所采用的簡諧振動越多，合成的振動越接近藍(lán)色線代表的振動。

所以，正弦或余弦函數(shù)所描述的振動可看作是振動的基本成分。之所以被稱作簡諧振動，“簡”字正是強(qiáng)調(diào)它是自然界中最簡單的振動。而“諧”字的意思是，振動一直持續(xù)下去，強(qiáng)調(diào)其能量不會耗散。

更廣泛的，非周期的函數(shù)可以看作是周期無限大的函數(shù)，它們也可以看作是正弦和余弦通過加權(quán)函數(shù)的組合，這就是傅里葉變換，它是傅里葉級數(shù)的推廣。據(jù)此，即使非周期運(yùn)動，形式上也可看作是由簡諧振動合成的。

因此，正弦和余弦函數(shù)也可看作構(gòu)成一切函數(shù)的基本元素，由他們描述的振動——簡諧振動，是構(gòu)成一切運(yùn)動的基本單元。

審核編輯 ：李倩