在結構光三維重建中，最常見的方法就是相移法，相移是通過投影一系列相移光柵圖像編碼，從而得到物體表面一點在投影儀圖片上的相對位置或者絕對位置。下面，筆者將詳細介紹如何制作相移編碼圖片，以及如何對獲取的相移圖片進行解碼，最后筆將粗淺的談談相移相比其他方法（如格雷碼）有什么優(yōu)勢。

常見的三步相移法公式如下所示：

其中 I1,I2,I3是相位圖的灰度值，?是條紋光強的背景值，??為條紋光強的調制強度，??是相位主值。由于cos的取值范圍是[-1,1],在制作編碼圖片的時候，我們可以把??和?都設置成127，這樣就可以保證制作的相位圖片的灰度值在0-255之間，以及一個高動態(tài)的范圍。實際上由于投影儀投射出來的光的灰度值并不是線性變化的，為了消除這種非線性變化問題，有不少人提出了各種針對投影光的伽馬矯正方法。如果精度要求不是特別嚴苛的話，投影儀投影的光在某個動態(tài)區(qū)間（通常是中間灰度值那一段，比如50-200的區(qū)間）會逼近于線性變化，我們也可以在制作圖片的時候把動態(tài)區(qū)間調整至逼近線性變換區(qū)間的范圍來消除這種非線性變化的干擾。

如下圖所示，是用三步相移公式做的相移圖片，為了更加清楚地描述，這里使用的是0-55的灰度值范圍。

三步相移法示例圖片

由之前我們知道，編碼主要是為了標記投影儀的圖片的實際位置，在相移中，我們用相位主值 編碼投影儀圖片的像素，對于某一個周期內(nèi)的投影坐標，我們可以這樣把相位主值換成其在周期內(nèi)的實際坐標：

Pixel即該點在周期內(nèi)的實際坐標，period即一個相位周期所占的像素列數(shù)，實際上，我們不可能僅用一個周期標記一整張相位圖片，其實很正常，我們的圖片列數(shù)常常是幾百甚至上千，而灰度值的動態(tài)范圍只有255， 所以我們通常會設計一個周期所占像素列數(shù)，如上圖所示，一個相位周期占圖片12列， 一張圖片約有10個周期。想要知道某個相位解碼點在投影圖片的實際坐標，我們除了知道其相位主值，還需要知道其是第幾個周期的相位。一個像素點的實際列坐標如下所示：

i 是相位所在的周期數(shù)（通常對第一個相位周期用0來編碼）, i的數(shù)值常用格雷碼編碼或者其他編碼方法輔助得到。又可以根據(jù)相位展開后的主值在空域上的分布來求解其是第幾個周期，不過這樣通常不準。

把相移編碼光投影到物體表面后，我們就可以解碼了，如上面的方程所示，I1,I2,I3是相機圖片的灰度值，那么上述三個方程就只剩三個未知數(shù)，?三個方程解三個未知數(shù)在滿秩的情況下一定是可解的，而且對于這三個未知數(shù)來說，我們其實只需要關心 ，相位主值的大小。解碼公式如下所示：

如果?解成??,則需要把其換算到??區(qū)間。上述相移編碼的解碼結果如下圖所示：

解碼后的相位主值圖

除了三步相移法，我們還可以設計四步甚至更多步相移法，具體編碼和解碼方式如下，對于N步相移法，我們需要N幅編碼圖片，對于第 ( )幅編碼圖片（通常我們用0標記第一幅圖片）, 其編碼如下:

其對應的N步相移法的解碼公式為：

如何選定相移步長呢? 一般來說，步長越多越精確和穩(wěn)定，但是在實際的應用中，考慮到三維成像幀率等原因，用三步或四步像移方法的較多。如果不考慮幀率的話，在論文[1]中有提到，如果能使用飽和式的相移圖片（saturated fringe patterns），即讓相移步長 N等于一個相位周期編碼列數(shù)的整數(shù)倍，如果編碼列數(shù)是偶數(shù)m的話，相移步長N可以是 m/2 的整數(shù)倍，這樣的話，解相移的時候對高反光表面相位主值也能解出比較好的結果。不過要對高反光表面的相移解碼得到非常好的效果，相移步長N通常都要在10以上，對于追求速度的三維重建，可能沒有那么吸引人。

最后，想和大家聊聊相移法比起格雷碼的優(yōu)勢，首先，相移可以看成連續(xù)變化的值，比如說我們解相位換算成像素點坐標的時候，通?？梢赃_到小數(shù)級（亞像素級）的精度，如果我們用格雷碼，在不使用插值的情況下，通常只能達到像素級的精度。為什么相移達到的亞像素級的精度是正確的呢？認為和光本身就是一種正弦波有關，光打在物體表面上，會以正弦波的形式向周邊散開，所以使用相移時得到的亞像素級的解碼精度往往是比較準確的。此外，我們用的相移是時序，利用光的在時間中（不同投影圖片下）的變化量來解碼，相比格雷碼用閾值二值化，受到物體紋理的影響會更小。比如相移光打在暗色物體上，可能解出來的 會比較小，但是不影響我們解出正確的相位主值 。

審核編輯：郭婷