所有的知識(shí)和研究都是為了增強(qiáng)人類對(duì)于自然、社會(huì)或者工業(yè)產(chǎn)品的認(rèn)知。這些認(rèn)知最后匯總為規(guī)律、定理、準(zhǔn)則。

廣義而言，元模型是對(duì)所有非線性復(fù)雜規(guī)律的描述，雖然通常用于工業(yè)品設(shè)計(jì)，但是它也可以用于描述自然現(xiàn)象，比如大氣對(duì)流的降階模型。

今天我們繼續(xù)聊聊元模型和優(yōu)化。

多元模型優(yōu)化

優(yōu)化是同時(shí)使用多個(gè)元模型的常見情形。

例如Mack等人采用多項(xiàng)式響應(yīng)面和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)器件進(jìn)行全局靈敏度分析和形狀優(yōu)化，以促進(jìn)混合，同時(shí)最大限度地減少總壓力損失。由于設(shè)計(jì)空間中的有效區(qū)域是分散存在的，因此很難使用單個(gè)替代模型來(lái)捕獲這些局部但關(guān)鍵的特征。

Kammer 和 Alvin從單個(gè)元模型的線性加權(quán)組合創(chuàng)建“主”響應(yīng)面，以創(chuàng)建在整個(gè)輸入?yún)?shù)空間上有效的超級(jí)元模型。

Glaz等人使用多項(xiàng)式響應(yīng)面、克里金法、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和加權(quán)平均元模型來(lái)減少直升機(jī)旋翼葉片振動(dòng)。他們的結(jié)果表明，可以使用多個(gè)替代項(xiàng)來(lái)定位低振動(dòng)設(shè)計(jì)，如果僅采用一種近似方法，則做不到這一點(diǎn)。

Samad等人的工作強(qiáng)調(diào)多元模型的優(yōu)勢(shì)。他們?cè)?a href="http://m.makelele.cn/tags/nas/" target="_blank">NASA轉(zhuǎn)子37的壓縮機(jī)葉片形狀優(yōu)化中使用多項(xiàng)式響應(yīng)面，克里金法，徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和加權(quán)平均代理。研究發(fā)現(xiàn)，最準(zhǔn)確的元模型并不總是導(dǎo)致最佳設(shè)計(jì)。這表明使用多元模型可以以最小的計(jì)算成本提高優(yōu)化的魯棒性。

事實(shí)證明，以這種簡(jiǎn)單的方式同時(shí)使用多個(gè)代理項(xiàng)（即一組代理項(xiàng)，可能還有一個(gè)加權(quán)平均代理項(xiàng)）在設(shè)計(jì)優(yōu)化中非常有吸引力。我們用一個(gè)具有四個(gè)設(shè)計(jì)變量和一個(gè)響應(yīng)的假設(shè)優(yōu)化問題來(lái)說明這種潛力。這通常需要大約30 到 40 個(gè)點(diǎn)進(jìn)行代理建模。假設(shè)每個(gè)仿真運(yùn)行一個(gè)小時(shí)，這意味著對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行采樣需要30 到 40 小時(shí)。讓我們比較兩種場(chǎng)景：一種是使用傳統(tǒng)的多項(xiàng)式響應(yīng)面，另一種是使用其他三種更精細(xì)且更昂貴的代理項(xiàng)（例如克里金模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量回歸模型）。擬合多項(xiàng)式響應(yīng)曲面非常簡(jiǎn)單，因?yàn)樗恍枰蠼饩€性方程組（40個(gè)方程組和 15 個(gè)未知數(shù)）。同樣，多項(xiàng)式響應(yīng)面的計(jì)算成本也很便宜。多項(xiàng)式響應(yīng)面的整個(gè)學(xué)習(xí)需要不到 5 秒的時(shí)間。另一方面，擬合克里金法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量回歸模型需要求解優(yōu)化問題。四個(gè)元模型的擬合和PRESS計(jì)算需要1小時(shí)多一點(diǎn)。此時(shí)，可以使用差異的PRESS 值來(lái)排除潛在的不良模型。如果所有元模型都同樣好，我們甚至可以選擇添加第五個(gè)模型，以加權(quán)平均元模型的形式將四個(gè)模型結(jié)合起來(lái)。

應(yīng)該記住，優(yōu)化元模型并不能保證元模型最佳或者接近真正的最佳。在實(shí)踐中，基于元模型的優(yōu)化按順序進(jìn)行，使用高保真模型評(píng)估代理項(xiàng)預(yù)測(cè)的點(diǎn)，然后重新擬合代理項(xiàng)并再次執(zhí)行優(yōu)化，直到實(shí)現(xiàn)收斂。這就解釋了為什么順序采樣框架最近成為大量研究的目標(biāo)。

前面的框架僅使用元模型模型的預(yù)測(cè)功能。當(dāng)計(jì)算預(yù)算只允許很少的優(yōu)化周期（可能只有一個(gè)或兩個(gè)）時(shí)，這可能很有用。盡管如此，我們想指出的是，順序采樣策略（例如有效全局優(yōu)化和增強(qiáng)順序優(yōu)化算法的變體）最近得到了大量研究。

具體來(lái)說，Rai和Campbell引入了定性和定量的順序抽樣技術(shù)。該方法通過稱為“置信函數(shù)”的標(biāo)準(zhǔn)將來(lái)自多個(gè)來(lái)源（包括計(jì)算機(jī)模型和設(shè)計(jì)師的定性直覺）的信息結(jié)合起來(lái)。使用各種示例演示了該方法的功能，包括雙穩(wěn)態(tài)微機(jī)電系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

Gorissen等人將多元模型帶入適應(yīng)性采樣。目標(biāo)是能夠通過迭代添加點(diǎn)來(lái)選擇最佳元模型。他們定制了一種遺傳算法，該算法結(jié)合了自動(dòng)模型類型選擇、自動(dòng)模型參數(shù)優(yōu)化和順序設(shè)計(jì)探索。

商業(yè)軟件中的元建模能力

目前，存在許多實(shí)現(xiàn)各種元建模技術(shù)的商業(yè)軟件包，但對(duì)于商業(yè)軟件系統(tǒng)元建模并不是最終目標(biāo)。在許多情況下，元建模是優(yōu)化和設(shè)計(jì)探索功能的伴侶，因?yàn)橐宰詣?dòng)方式確定給定條件的最佳系統(tǒng)仍然是主要任務(wù)。商業(yè)軟件的發(fā)展來(lái)自兩個(gè)主要來(lái)源：學(xué)術(shù)研究和工業(yè)需求。學(xué)術(shù)研究為探索科學(xué)發(fā)展的各個(gè)方向提供了極大的靈活性和能力，而工業(yè)需求是由需要在短時(shí)間內(nèi)解決的問題決定的。由于軟件公司的融資主要取決于行業(yè)，因此它們的目標(biāo)是首先滿足當(dāng)前的行業(yè)需求，同時(shí)試圖預(yù)測(cè)任何未來(lái)的需求。這種預(yù)測(cè)未來(lái)需求的必要性使他們進(jìn)行自己的研究，也要求他們跟隨學(xué)術(shù)研究的趨勢(shì)。在針對(duì)未來(lái)需求的高效研究和即時(shí)的日常重要行業(yè)需求之間保持平衡并非易事，尤其是考慮到銷售軟件的需求。這種平衡的一個(gè)重要部分是方法和算法的高效和穩(wěn)健的實(shí)現(xiàn)。

計(jì)算機(jī)技術(shù)和圖形用戶界面（GUI）開發(fā)的進(jìn)步以及競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致商業(yè)軟件系統(tǒng)在與第三方分析/模擬代碼以及預(yù)/后處理甚至底層算法的集成方面提供類似的功能。各種軟件產(chǎn)品的GUI變得相似，盡管由于缺乏既定的術(shù)語(yǔ)，類似的算法被稱為不同的名稱。因此，用戶的學(xué)習(xí)曲線可能會(huì)因軟件環(huán)境而異。選擇商業(yè)軟件可以基于這些特點(diǎn)進(jìn)行評(píng)估：易用性、特定類型優(yōu)化問題的典型計(jì)算成本、可視化功能、元建模和優(yōu)化算法等，以確保軟件提供所需的內(nèi)容。

DAKOTA是開源軟件。由于更多地受到研究和出版物的驅(qū)動(dòng)，它往往比商業(yè)軟件更處于算法的前沿。DAKOTA擁有比商業(yè)軟件更多種類的優(yōu)化和元建模方法。然而，由于缺乏苛刻的付費(fèi)客戶，用戶友好性不如商業(yè)軟件。具體來(lái)說，沒有經(jīng)驗(yàn)的用戶可能會(huì)被各種算法和每種算法中的選項(xiàng)所淹沒。使用C++作為核心語(yǔ)言可提供組件的即插即用功能和自然路徑以實(shí)現(xiàn)可擴(kuò)展性。

MATLAB的主要關(guān)注點(diǎn)不是元建?；騼?yōu)化。相反，它是一種數(shù)值計(jì)算環(huán)境和編程語(yǔ)言。它是一個(gè)靈活而廣泛的工具，幾乎所有專門的元建模/優(yōu)化軟件都有直接接口。此外，MATLAB 本身有一個(gè)優(yōu)化/元建模工具箱，其中包含各種可用的算法和選項(xiàng)。由于MATLAB 提供了很好的編程、預(yù)處理和后處理功能，以及來(lái)自各個(gè)領(lǐng)域的鏈接、方法和工具，因此它本身就是一個(gè)有吸引力的優(yōu)化和元建模系統(tǒng)。

開源工具UQlab是一種基于MATLAB的不確定分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)工具。它的重點(diǎn)是不確定性分析，但是它同樣擁有強(qiáng)大的高斯過程和PC-克里金建模方法，并且在靈敏度分析、可靠性分析、支持向量機(jī)、高級(jí)概率建模、低秩張量近似與貝葉斯校準(zhǔn)方面具有非常優(yōu)秀的算法。

鮮為人知的是Excel具有適合解決非線性問題的優(yōu)化工具。盡管在可解決的問題規(guī)模方面落后于專門的優(yōu)化軟件，但Excel Solver 提供了漂亮且易于使用的優(yōu)化功能。除此之外，大多數(shù)商業(yè)優(yōu)化/元建模軟件包都有專門的Excel界面。

HyperStudy的主要優(yōu)勢(shì)之一是與 HyperMesh緊密相連。與HyperMesh 的集成可實(shí)現(xiàn) FEA/MBD/CFD求解器輸入數(shù)據(jù)的直接參數(shù)化，以及繪圖和動(dòng)畫輸出的一步提取，從而使求解器與HyperStudy 的集成更加高效。

iSight是使用最廣泛的商業(yè)優(yōu)化包之一。它支持直接集成到大量第三方分析/模擬工具和CAD程序。iSight提供的獨(dú)特工具之一是使用參數(shù)的物理尺寸來(lái)創(chuàng)建較少數(shù)量的非尺寸參數(shù)，以便更輕松地半自動(dòng)減少設(shè)計(jì)變量，并確定系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的基本趨勢(shì)。

LS-OPT與LS-Dyna非線性有限元代碼一起開發(fā)(現(xiàn)在歸屬于ANSYS軟件)，并提供優(yōu)化和元建模功能，可直接在與該有限元代碼的緊密耦合范圍內(nèi)以及獨(dú)立運(yùn)行。與LS-Dyna的緊密耦合提供了獨(dú)特的功能，可以有效地執(zhí)行各種類型的優(yōu)化以及使用非線性FE代碼進(jìn)行權(quán)衡研究。具體來(lái)說，對(duì)某些結(jié)構(gòu)問題的不穩(wěn)定性/噪聲/異常值調(diào)查和變量篩選使LS-OPT與其他工具區(qū)分開來(lái)。

Optislang與DesignXplorer是ANSYS公司的產(chǎn)品。前者逐漸替代后者成為ANSYS軟件集成系統(tǒng)的元建模和優(yōu)化設(shè)計(jì)工具。與前述的商業(yè)軟件相比，除了擁有敏感性分析、響應(yīng)面、高斯過程這些基礎(chǔ)方法以外，Optislang的MOP（最佳預(yù)后元模型）是典型的多元模型設(shè)計(jì)理論的一個(gè)具體實(shí)現(xiàn)；深度高斯過程在復(fù)雜隨機(jī)數(shù)據(jù)元建模方面有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)；穩(wěn)健性設(shè)計(jì)之外的可靠性設(shè)計(jì)方法也更加有效。

元模型驅(qū)動(dòng)的設(shè)計(jì)空間探索與可視化

元建模不僅降低了優(yōu)化的計(jì)算成本，而且還為快速設(shè)計(jì)空間探索提供了一種手段，通常更重要的是可視化。由于元模型的評(píng)估速度很快，幾乎是即時(shí)的，因此當(dāng)設(shè)計(jì)（輸入）變量在圖形設(shè)計(jì)環(huán)境中發(fā)生更改時(shí)，它們能夠?qū)崟r(shí)計(jì)算性能分析。在圖形設(shè)計(jì)界面中具有快速響應(yīng)的重要性已被許多研究證實(shí)，有效設(shè)計(jì)空間探索的快速分析能力至關(guān)重要。

在MDO社區(qū)內(nèi)，該領(lǐng)域的研究主要在兩個(gè)方面進(jìn)行：改進(jìn)使用元模型進(jìn)行設(shè)計(jì)空間探索的軟件和可視化工具，以及評(píng)估采用元模型的可視化策略。前者的例子包括圖形變形，云可視化，馬賽克可視化和高級(jí)系統(tǒng)設(shè)計(jì)套件。它們使用各種類型的元模型允許用戶通過實(shí)時(shí)交互來(lái)引導(dǎo)和可視化模擬。最近的發(fā)展旨在改進(jìn)可視化結(jié)果的方法比如N維帕累托邊界。與此同時(shí)，佐治亞理工學(xué)院的航空航天研究人員已經(jīng)廣泛使用JMP中的元建模和可視化功能進(jìn)行多維參數(shù)權(quán)衡與設(shè)計(jì)空間探索。

至于第二項(xiàng)研究，由于許多工程設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)經(jīng)常使用可視化設(shè)計(jì)環(huán)境，因此對(duì)基于元模型的可視化的好處的評(píng)估變得越來(lái)越普遍。例如，Ligetti和Simpson研究了使用一階，逐步和二階多項(xiàng)式回歸模型在詳細(xì)的制造模擬中近似系統(tǒng)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)與一階和二階多項(xiàng)式回歸模型相比，使用逐步回歸模型顯著減少了任務(wù)完成時(shí)間并減少了誤差。這些發(fā)現(xiàn)，結(jié)合上述響應(yīng)延遲的重要性，對(duì)元模型驅(qū)動(dòng)的可視化設(shè)計(jì)環(huán)境的使用和開發(fā)具有重要意義；潛在的好處是巨大的，但我們必須非常注意人機(jī)交互，以避免同樣可能發(fā)生的陷阱。

未來(lái)的研究方向

首先，維度難題仍然存在。有許多因素使高維問題本身變得困難。在這里，我們認(rèn)為全局敏感性分析將在緩解維度難題方面發(fā)揮重要作用，許多人正在研究減少與高維問題相關(guān)的計(jì)算費(fèi)用的方法。統(tǒng)計(jì)上合理，健壯和可擴(kuò)展（即能夠處理大量輸入和輸出）的方法非常重要。其次，計(jì)算復(fù)雜性仍然存在。問題變得更加復(fù)雜和/或我們正在嘗試做更多的事情（例如，不確定性下的優(yōu)化，基于可靠性的設(shè)計(jì)優(yōu)化和魯棒設(shè)計(jì)）。同時(shí)數(shù)值噪聲問題仍然存在，由于許多分析的計(jì)算復(fù)雜性增加，數(shù)值噪聲似乎越來(lái)越嚴(yán)重，并且在執(zhí)行模型驗(yàn)證（檢查模型是否再現(xiàn)了感興趣的過程的已知行為）時(shí)也帶來(lái)了額外的挑戰(zhàn)。處理混合離散/連續(xù)變量的挑戰(zhàn)也仍然存在，并且由于目前正在研究的問題的性質(zhì)，情況可能會(huì)變得更糟。最后，對(duì)于基于元模型的優(yōu)化的需求繼續(xù)受到相當(dāng)大的關(guān)注，而且元模型和底層模型的驗(yàn)證與以前一樣重要。

結(jié)論

元建模和優(yōu)化要成為工業(yè)界的日常和常用工具還有很長(zhǎng)的路要走。盡管大計(jì)算成本是研究背后的主要或唯一動(dòng)機(jī)，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)更新和更實(shí)用工業(yè)設(shè)計(jì)能力的持續(xù)需求才是真正推動(dòng)元建模發(fā)展的原因。

審核編輯 ：李倩