1 定義

只要是存在不確定信息的動態(tài)系統(tǒng)，卡爾曼濾波就可以對系統(tǒng)下一步要做什么做出有根據(jù)的推測。即便有噪聲信息干擾，卡爾曼濾波通常也能很好的弄清楚究竟發(fā)生了什么，找出現(xiàn)象間不易察覺的相關(guān)性因此卡爾曼濾波非常適合不斷變化的系統(tǒng)，它的優(yōu)點還有內(nèi)存占用較?。ㄖ恍璞Ａ羟耙粋€狀態(tài)）、速度快，是實時問題和嵌入式系統(tǒng)的理想選擇。

2 應(yīng)用

比如跟蹤目標(biāo)，但目標(biāo)的位置、速度、加速度的測量值往往在任何時候都有噪聲。卡爾曼濾波利用目標(biāo)的動態(tài)信息,設(shè)法去掉噪聲的影響，得到一個關(guān)于目標(biāo)位置的好的估計。這個估計可以是對當(dāng)前目標(biāo)位置的估計(濾波)，也可以是對于將來位置的估計(預(yù)測)，也可以是對過去位置的估計(插值或平滑)。

3 卡爾曼濾波眼里的行人跟蹤問題

下面是圖例公式的描述,初學(xué)同學(xué)可能有點蒙，建議去查一下卡爾曼濾波相關(guān)視頻（然后發(fā)現(xiàn)還是蒙/壞笑/,但每次的學(xué)習(xí)都會有新的發(fā)現(xiàn)/加油/）

下面是UP學(xué)習(xí)了不錯文章作者Bzarg

一個包含位置信息和速度信息的狀 x=（p,v）

卡爾曼濾波假設(shè)兩個變量（在我們的例子里是位置和速度）都應(yīng)該是隨機的，而且符合高斯分布。如下圖

位置和速度是不相關(guān)的，這意味著我們不能從一個變量推測另一個變量。那么如果位置和速度相關(guān)呢？如下圖所示，人前往特定位置的可能性取決于它擁有的速度。

這不難理解，如果基于舊位置估計新位置，我們會產(chǎn)生這兩個結(jié)論：如果速度很快，人可能移動得更遠，所以得到的位置會更遠；如果速度很慢，人就走不了那么遠。

這種關(guān)系對目標(biāo)跟蹤來說非常重要，因為它提供了更多信息：一個可以衡量可能性的標(biāo)準(zhǔn)。這就是卡爾曼濾波的目標(biāo)：從不確定信息中擠出盡可能多的信息！

為了捕獲這種相關(guān)性，我們用的是協(xié)方差矩陣。簡而言之，矩陣的每個值是第i個變量和第j個變量之間的相關(guān)程度（由于矩陣是對稱的，i和j的位置可以隨便交換）。我們用表示協(xié)方差矩陣，在這個例子中，就是

。

為了把以上關(guān)于狀態(tài)的信息建模為高斯分布（圖中色塊），我們還需要k時的兩個信息：最佳估計

（均值，也就是

，協(xié)方差矩陣

。（雖然還是用了位置和速度兩個變量，但只要和問題相關(guān)，卡爾曼濾波可以包含任意數(shù)量的變量）

接下來，我們要通過查看當(dāng)前狀態(tài)（k-1時）來預(yù)測下一個狀態(tài)（k時）。這里我們查看的狀態(tài)不是真值，但預(yù)測函數(shù)無視真假，可以給出新分布：

我們可以用矩陣

表示這個預(yù)測步驟：

它從原始預(yù)測中取每一點，并將其移動到新的預(yù)測位置。如果原始預(yù)測是正確的，系統(tǒng)就會移動到新位置。這是怎么做到的？為什么我們可以用矩陣來預(yù)測人下一刻的位置和速度？下面是個簡單公式：

換成矩陣形式：

這是一個預(yù)測矩陣，它能給出人的下一個狀態(tài)，但目前我們還不知道協(xié)方差矩陣的更新方法。這也是我們要引出下面這個等式的原因：如果我們將分布中的每個點乘以矩陣A，那么它的協(xié)方差矩陣會發(fā)生什么變化

把這個式子和上面的最佳估計

結(jié)合，可得：

外部影響

但是，除了速度和位置，外因也會對系統(tǒng)造成影響。比如模擬火車運動，除了列車自駕系統(tǒng)，列車操作員可能會手動調(diào)速。在我們的機器人示例中，導(dǎo)航軟件也可以發(fā)出停止指令。對于這些信息，我們把它作為一個向量

，納入預(yù)測系統(tǒng)作為修正。假設(shè)油門設(shè)置和控制命令是已知的，我們知道火車的預(yù)期加速度a。根據(jù)運動學(xué)基本定理，我們可得：

把它轉(zhuǎn)成矩陣形式：

是控制矩陣，

是控制向量。如果外部環(huán)境異常簡單，我們可以忽略這部分內(nèi)容，但是如果添加了外部影響后，模型的準(zhǔn)確率還是上不去，這又是為什么呢？

外部不確定性

但是，如果存在我們不知道的力量呢？當(dāng)我們監(jiān)控無人機時，它可能會受到風(fēng)的影響；當(dāng)我們跟蹤輪式機器人時，它的輪胎可能會打滑，或者粗糙地面會降低它的移速。這些因素是難以掌握的，如果出現(xiàn)其中的任意一種情況，預(yù)測結(jié)果就難以保障。這要求我們在每個預(yù)測步驟后再加上一些新的不確定性，來模擬和“世界”相關(guān)的所有不確定性：

如上圖所示，加上外部不確定性后，

的每個預(yù)測狀態(tài)都可能會移動到另一點，也就是藍色的高斯分布會移動到紫色高斯分布的位置，并且具有協(xié)方差

。換句話說，我們把這些不確定影響視為協(xié)方差

的噪聲。

這個紫色的高斯分布擁有和原分布相同的均值，但協(xié)方差不同。

我們在原式上加入

新的最佳估計是基于原最佳估計和已知外部影響矯正后得到的預(yù)測

新的不確定性是基于原不確定性和外部環(huán)境不確定性得到的預(yù)測