這一篇我們來(lái)談其他兩個(gè)熱門指標(biāo)，老生常談的穩(wěn)定裕量：

增益裕量 Gain Margin，以下簡(jiǎn)稱GM

相位裕量 Phase Margin，以下簡(jiǎn)稱PM

系統(tǒng)到底有多穩(wěn)定？

• 系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，收斂還是發(fā)散→反應(yīng) 絕對(duì)穩(wěn)定性 （穩(wěn)定還是不穩(wěn)定）
• 系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，收斂的平穩(wěn)度→反應(yīng) 相對(duì)穩(wěn)定性 （穩(wěn)定裕量有多大）

根據(jù)勞斯判據(jù)，三個(gè)閉環(huán)典型二階系統(tǒng)T1,T2,T3，如下圖所示，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根都位于左復(fù)半平面，因此都是絕對(duì)穩(wěn)定的。

但是，顯然其相對(duì)穩(wěn)定性T1>T2>T3。反應(yīng)在閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根的分布上，即距離虛軸（臨界區(qū)域）越遠(yuǎn)的，越難振蕩，相對(duì)穩(wěn)定性越好。

換句話說(shuō)，系統(tǒng)****有多穩(wěn)定，即相距絕對(duì)穩(wěn)定的臨界區(qū)域的距離，有多遠(yuǎn)。

波特圖中GM和PM的由來(lái)

我們常用開(kāi)環(huán)函數(shù)loop gain的頻率特性，來(lái)預(yù)測(cè)和評(píng)估閉環(huán)系統(tǒng)的性能，因此閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)距離臨界區(qū)域的距離，得想辦法轉(zhuǎn)換到開(kāi)環(huán)函數(shù)loop gain的頻域指標(biāo)上，才可以方便地指導(dǎo)設(shè)計(jì)。這就是導(dǎo)出波特圖中GM和PM的出發(fā)點(diǎn)。

為了導(dǎo)出GM和PM，我們必須先回到開(kāi)環(huán)函數(shù)loop gain的奈奎斯特圖（Nyquist曲線，即頻域中增益和相角的極坐標(biāo)，隨頻率變化的軌跡）。

注：引入極坐標(biāo)和奈奎斯特圖，從而在頻域判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性的原因，可以自行回顧“自動(dòng)控制原理”勞斯判據(jù)，柯西幅角原理，輔助方程和平面映射等基本內(nèi)容。

奈奎斯特圖和波特圖只是在頻域的不同表現(xiàn)形式：上述三個(gè)閉環(huán)典型二階系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)函數(shù)G1,G2,G3的波特圖(0+→+∞)和奈奎斯特圖(-∞→0-→0+→+∞)，兩者對(duì)應(yīng)的關(guān)系如下。

注：奈奎斯特曲線總是按照(-∞→0-→0+→+∞→-∞...)這個(gè)循環(huán)形成包圍曲線，如下所示。

針對(duì)工程實(shí)際中最常見(jiàn)的開(kāi)環(huán)函數(shù)，一般不含有右半平面極點(diǎn)，本身往往是絕對(duì)穩(wěn)定的，只是動(dòng)態(tài)特性欠佳，需要補(bǔ)償和校正。

這樣的開(kāi)環(huán)函數(shù)特性，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，它的奈奎斯特曲線順/逆時(shí)針包圍(-1，j0)的正負(fù)和要為0，則有如下：

• 結(jié)論：

一般/常見(jiàn)的****穩(wěn)定系統(tǒng)，其閉環(huán)函數(shù)特征方程的根，在左半平面相距臨界區(qū)域（虛軸）的遠(yuǎn)近，對(duì)應(yīng)了開(kāi)環(huán)函數(shù)loop gain奈奎斯特曲線，相距(-1,j0)這個(gè)臨界點(diǎn)的遠(yuǎn)近。

以一般/常見(jiàn)形狀的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的奈奎斯特圖為例，可以看到，當(dāng)奈奎斯特曲線通過(guò)增益放大或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的方式，都會(huì)造成包圍(-1，j0)，從而不再滿足奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)。

為了 達(dá)到不穩(wěn)定的臨界點(diǎn)而允許放大的增益，和允許順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度，可作為衡量閉環(huán)系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性高低的指標(biāo)，即開(kāi)環(huán)函數(shù)loop gain的GM和PM 。

PM對(duì)動(dòng)態(tài)的影響

真實(shí)的工程實(shí)踐中，開(kāi)環(huán)函數(shù)幾乎都是高階系統(tǒng)。

時(shí)域響應(yīng)波形中我們所關(guān)心的形狀和對(duì)應(yīng)頻率段，都可被一個(gè)主導(dǎo)二階系統(tǒng)近似。這對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的時(shí)域響應(yīng)，可近似該頻段的時(shí)域響應(yīng)的大致形狀。

故我們?nèi)砸缘湫烷]環(huán)二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)函數(shù)為例：阻尼比ξ是影響振蕩程度的關(guān)鍵參數(shù)。從時(shí)域響應(yīng)來(lái)看，阻尼比ξ越大，代表系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好。

閉環(huán)二階系統(tǒng)中，阻尼比ξ恰可以與開(kāi)環(huán)函數(shù)的相位裕量PM對(duì)應(yīng)，直接建立函數(shù)關(guān)系：

• 結(jié)論：

針對(duì)典型二階系統(tǒng)主導(dǎo)的閉環(huán)系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)函數(shù)loop gain的相位裕量：

• PM≤60°時(shí)，阻尼比ξ**≈0.01PM<0.6，PM越低，系統(tǒng)超調(diào)越大；**

  注：特別的，PM=45°，阻尼比ξ≈0.45，系統(tǒng)超調(diào)<20%尚可接受，可作為PM>45°準(zhǔn)則的理論支撐。

• PM>60°時(shí)，0.6<阻尼比 ξ <0.01PM ，幾乎不再有超調(diào)。

GM對(duì)動(dòng)態(tài)的影響

對(duì)于GM來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)者的初衷并非只針對(duì)這一個(gè)頻率點(diǎn)，這和上一節(jié)所討論的穿越頻率/帶寬的內(nèi)涵是一致的。

GM設(shè)計(jì)得大，其本意是希望相位=-180°的高頻之處，以及更高的高頻頻段整體，系統(tǒng)能有足夠大的增益衰減，以抑制環(huán)路中的高頻噪聲。

然而，GM和系統(tǒng)其他參數(shù)無(wú)法解耦， 通過(guò)補(bǔ)償器使高頻頻段整體進(jìn)一步增益衰減，勢(shì)必會(huì)帶來(lái)更多的相位延遲，導(dǎo)致在相對(duì)較低的頻率就穿越-180°，從而表現(xiàn)出更小的GM。因此，單獨(dú)探討和比較GM的大小，沒(méi)有特別的意義。

• 結(jié)論：

設(shè)計(jì)開(kāi)環(huán)函數(shù)loop gain的補(bǔ)償器時(shí)，應(yīng)優(yōu)先保證穿越頻率和PM盡量滿足期望，增益裕量不至過(guò)小即可。