對(duì)于初學(xué)數(shù)字信號(hào)處理（DSP）的人來說，這幾種變換是最為頭疼的，它們是數(shù)字信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)，貫穿整個(gè)信號(hào)的處理。

學(xué)習(xí)過《高等數(shù)學(xué)》和《信號(hào)與系統(tǒng)》這兩門課的朋友，都知道時(shí)域上任意連續(xù)的周期信號(hào)可以分解為無限多個(gè)正弦信號(hào)之和，在頻域上就表示為離散非周期的信號(hào)，即時(shí)域連續(xù)周期對(duì)應(yīng)頻域離散非周期的特點(diǎn)，這就是傅里葉級(jí)數(shù)展開（FS），它用于分析連續(xù)周期信號(hào)。

FT是傅里葉變換，它主要用于分析連續(xù)非周期信號(hào)，由于信號(hào)是非周期的，它必包含了各種頻率的信號(hào)，所以具有時(shí)域連續(xù)非周期對(duì)應(yīng)頻域連續(xù)非周期的特點(diǎn)。

FS和FT 都是用于連續(xù)信號(hào)頻譜的分析工具，它們都以傅里葉級(jí)數(shù)理論問基礎(chǔ)推導(dǎo)出的。時(shí)域上連續(xù)的信號(hào)在頻域上都有非周期的特點(diǎn)，但對(duì)于周期信號(hào)和非周期信號(hào)又有在頻域離散和連續(xù)之分。

在自然界中除了存在溫度，壓力等在時(shí)間上連續(xù)的信號(hào)，還存在一些離散信號(hào)，離散信號(hào)可經(jīng)過連續(xù)信號(hào)采樣獲得，也有本身就是離散的。例如，某地區(qū)的年降水量 或平均增長(zhǎng)率等信號(hào)，這類信號(hào)的時(shí)間變量為年，不在整數(shù)時(shí)間點(diǎn)的信號(hào)是沒有意義的。用于離散信號(hào)頻譜分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。

DTFT是離散時(shí)間傅里葉變換 ，它用于離散非周期序列分析，根據(jù)連續(xù)傅里葉變換要求連續(xù)信號(hào)在時(shí)間上必須可積這一充分必要條件，那么對(duì)于離散時(shí)間傅里葉變換，用于它之上的離散序列也必 須滿足在時(shí)間軸上級(jí)數(shù)求和收斂的條件；由于信號(hào)是非周期序列，它必包含了各種頻率的信號(hào)，所以DTFT對(duì)離散非周期信號(hào)變換后的頻譜為連續(xù)的，即有時(shí)域離 散非周期對(duì)應(yīng)頻域連續(xù)周期的特點(diǎn)。

當(dāng)離散的信號(hào)為周期序列時(shí)，嚴(yán)格的講，離散時(shí)間傅里葉變換是不存在的，因?yàn)樗粷M足信號(hào)序列絕對(duì)級(jí)數(shù)和收斂（絕對(duì)可和）這一傅里葉變換的充要條件，但是采用DFS（離散傅里葉級(jí)數(shù)）這一分析工具仍然可以對(duì)其進(jìn)行傅里葉分析。

我們知道周期離散信號(hào)是由無窮多相同的周期序列在時(shí)間軸上組成的，假設(shè)周期為N，即每個(gè)周期序列都有N個(gè)元素，而這樣的周期序列有無窮多個(gè)，由于無窮多個(gè) 周期序列都相同，所以可以只取其中一個(gè)周期就足以表示整個(gè)序列了，這個(gè)被抽出來表示整個(gè)序列特性的周期稱為主值周期，這個(gè)序列稱為主值序列。然后以N對(duì)應(yīng) 的頻率作為基頻構(gòu)成傅里葉級(jí)數(shù)展開所需要的復(fù)指數(shù)序列ek(n)=exp(j*2pi*k*n/N)，用主值序列與復(fù)指數(shù)序列取相關(guān)（乘加運(yùn)算），得出每 個(gè)主值在各頻率上的頻譜分量，這樣就表示出了周期序列的頻譜特性。

根據(jù)DTFT，對(duì)于有限長(zhǎng)序列作Z變換或序列傅里葉變換都是可行的，或者說，有限長(zhǎng)序列的頻域和復(fù)頻域分析在理論上都已經(jīng)解決；但對(duì)于數(shù)字系統(tǒng)，無論是Z 變換還是序列傅里葉變換的適用方面都存在一些問題，重要是因?yàn)轭l率變量的連續(xù)性性質(zhì)（DTFT變換出連續(xù)頻譜），不便于數(shù)字運(yùn)算和儲(chǔ)存。

參考DFS，可以采用類似DFS的分析方法對(duì)解決以上問題?？梢园延邢揲L(zhǎng)非周期序列假設(shè)為一無限長(zhǎng)周期序列的一個(gè)主直周期，即對(duì)有限長(zhǎng)非周期序列進(jìn)行周期 延拓，延拓后的序列完全可以采用DFS進(jìn)行處理，即采用復(fù)指數(shù)基頻序列和此有限長(zhǎng)時(shí)間序列取相關(guān)，得出每個(gè)主值在各頻率上的頻譜分量以表示出這個(gè)“主值周 期”的頻譜信息。

由于DFT借用了DFS，這樣就假設(shè)了序列的周期無限性，但在處理時(shí)又對(duì)區(qū)間作出限定（主值區(qū)間），以符合有限長(zhǎng)的特點(diǎn)，這就使DFT帶有了周期性。另 外，DFT只是對(duì)一周期內(nèi)的有限個(gè)離散頻率的表示，所以它在頻率上是離散的，就相當(dāng)于DTFT變換成連續(xù)頻譜后再對(duì)其采樣，此時(shí)采樣頻率等于序列延拓后的 周期N，即主值序列的個(gè)數(shù)。

下面談?wù)凞FS，DTFT，DFT，F(xiàn)FT的聯(lián)系與區(qū)別

DFT與FFT其實(shí)是一個(gè)本質(zhì)，F(xiàn)FT是DFT的一種快速算法。

DFS是discrete fourier seriers，對(duì)離散周期信號(hào)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開。DFT是將DFS取主值，DFS是DFT的周期延拓。

DTFT是對(duì)Discrete time fourier transformation，是對(duì)序列的FT，得到連續(xù)的周期譜，而DFT，F(xiàn)FT得到是有限長(zhǎng)的非周期離散譜，不是一個(gè)。

DTFT與DFT的關(guān)系

我們知道，一個(gè)N點(diǎn)離散時(shí)間序列的傅里葉變換（DTFT）所的頻譜是以（2*pi）為周期進(jìn)行延拓的連續(xù)函數(shù)，由采樣定理我們知道，時(shí)域進(jìn)行采樣，則頻域 周期延拓；同理，如果在頻域進(jìn)行采樣，則時(shí)域也會(huì)周期延拓。離散傅里葉變換（DFT）就是基于這個(gè)理論，在頻域進(jìn)行采樣，一個(gè)周期內(nèi)采N個(gè)點(diǎn)（與序列點(diǎn)數(shù) 相同） ，從而將信號(hào)的頻譜離散化，得到一的重要的對(duì)應(yīng)關(guān)系：一個(gè)N點(diǎn)離散時(shí)間信號(hào)可以用頻域內(nèi)一個(gè)N點(diǎn)序列來唯一確定，這就是DFT表達(dá)式所揭示的內(nèi)容。

至于離散傅里葉變換DFT，其實(shí)也是對(duì)數(shù)字信號(hào)變換到頻域進(jìn)行分析處理，它對(duì)數(shù)字信號(hào)處理的作用相當(dāng)大。數(shù)字信號(hào)處理脫離了模擬時(shí)期對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理完全依賴 于器件的情況，可以直接通過計(jì)算來進(jìn)行信號(hào)處理。如數(shù)字濾波器，只是用系統(tǒng)的系數(shù)對(duì)進(jìn)入的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行一定的計(jì)算，信號(hào)出系統(tǒng)后即得到處理后的數(shù)據(jù)在時(shí)域 上的表達(dá)。

離散傅里葉變換在理解上與連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換不太相同，主要是離散信號(hào)的傅里葉變換涉及到周期延拓，以及圓周卷積等。

快速傅里葉變換FFT其實(shí)是一種對(duì)離散傅里葉變換的快速算法，它的出現(xiàn)解決了離散傅里葉變換的計(jì)算量極大、不實(shí)用的問題，使離散傅里葉變換的計(jì)算量降低了 一個(gè)或幾個(gè)數(shù)量級(jí)，從而使離散傅里葉變換得到了廣泛應(yīng)用。另外，F(xiàn)FT的出現(xiàn)也解決了相當(dāng)多的計(jì)算問題，使得其它計(jì)算也可以通過FFT來解決。