【導(dǎo)讀】為了更好地理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的運作，今天只為大家解讀神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)背后的數(shù)學(xué)原理。而作者寫這篇文章的目的一個是為了整理自己學(xué)到的知識；第二個目的也是為了分享給大家，如果學(xué)習(xí)時有困惑難解的知識，希望這篇文章可以有助于大家的學(xué)習(xí)與理解。對于代數(shù)和微積分相關(guān)內(nèi)容基礎(chǔ)薄弱的小伙伴們，雖然文中涉及不少數(shù)學(xué)知識，但我會盡量讓內(nèi)容易于大家理解。

▌解析深度網(wǎng)絡(luò)背后的數(shù)學(xué)

如今，已有許多像 Keras, TensorFlow, PyTorch 這樣高水平的專門的庫和框架，我們就不用總擔(dān)心矩陣的權(quán)重太多，或是對使用的激活函數(shù)求導(dǎo)時存儲計算的規(guī)模太大這些問題了。基于這些框架，我們在構(gòu)建一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時，甚至是一個有著非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)時，也僅需少量的輸入和代碼就足夠了，極大地提高了效率。無論如何，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)背后的原理方法對于像架構(gòu)選擇、超參數(shù)調(diào)整或者優(yōu)化這樣的任務(wù)有著很大的幫助。

圖一 訓(xùn)練集可視化

舉個例子，我們將利用上圖展示的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)去解決一個二分類問題。從上面的圖可以看出，數(shù)據(jù)點形成了兩個圓，這對于許多傳統(tǒng)的機器學(xué)習(xí)算法是不容易的，但是現(xiàn)在用一個小的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就可能很好地解決這個問題了。為了解決這個問題，我們將構(gòu)建一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：包括五個全連接層，每層都含有不同數(shù)目的單元，結(jié)構(gòu)如下：

圖二 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)

其中，隱藏層使用 ReLU 作為激活函數(shù)，輸出層使用 Sigmoid。這是一個非常簡單的架構(gòu)，但是對于解決并解釋這個問題已經(jīng)足夠了。

用 KERAS 求解

首先，先給大家介紹一個解決方法，使用了一個最受歡迎的機器學(xué)習(xí)庫—— KERAS 。

fromkeras.modelsimportSequentialfromkeras.layersimportDensemodel=Sequential()model.add(Dense(4,input_dim=2,activation='relu'))model.add(Dense(6,activation='relu'))model.add(Dense(6,activation='relu'))model.add(Dense(4,activation='relu'))model.add(Dense(1,activation='sigmoid'))model.compile(loss='binary_crossentropy',optimizer='adam',metrics=['accuracy'])model.fit(X_train,y_train,epochs=50,verbose=0)

正如我在簡介中提到的，少量的輸入數(shù)據(jù)和代碼就足以構(gòu)建和訓(xùn)練出一個模型，并且在測試集上的分類精度幾乎達到100%。概括來講，我們的任務(wù)其實就是提供與所選架構(gòu)一致的超參數(shù)（層數(shù)、每層的神經(jīng)元數(shù)、激活函數(shù)或者迭代次數(shù)）。先給大家展示一個超酷的可視化結(jié)果，是我在訓(xùn)練過程中得到的：

圖三 訓(xùn)練中正確分類區(qū)域的可視化

現(xiàn)在我們來解析這背后的原理。

▌什么是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)？

讓我們從關(guān)鍵問題開始：什么是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)？它是一種由生物啟發(fā)的，用來構(gòu)建可以學(xué)習(xí)并且獨立解釋數(shù)據(jù)中聯(lián)系的計算機程序的方法。如上圖二所示，網(wǎng)絡(luò)就是各層神經(jīng)元的集合，這些神經(jīng)元排列成列，并且相互之間連接，可以進行交流。

▌單個神經(jīng)元

每個神經(jīng)元以一組 x 變量（取值從1到 n ）的值作為輸入，計算預(yù)測的 y-hat 值。假設(shè)訓(xùn)練集中含有 m 個樣本，則向量 x 表示其中一個樣本的各個特征的取值。此外，每個單元有自己的參數(shù)集需要學(xué)習(xí)，包括權(quán)重向量和偏差，分別用 w 和 b 表示。在每次迭代中，神經(jīng)元基于本輪的權(quán)重向量計算向量 x 的加權(quán)平均值，再加上偏差。最后，將計算結(jié)果代入一個非線性激活函數(shù) g。我會在下文中介紹一些最流行的激活函數(shù)。

圖四 單個神經(jīng)元

▌單層

現(xiàn)在我們看一下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中整體的一層是怎么計算的。我們將整合每個單元中的計算，進行向量化，然后寫成矩陣的形式。為了統(tǒng)一符號，我們選取第 l 層寫出矩陣等式，下標(biāo) i 表示第 i 個神經(jīng)元。

圖五 單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

注意一點：當(dāng)我們對單個單元寫方程的時候，用到了 x 和 y-hat，它們分別表示特征列向量和預(yù)測值。但當(dāng)我們對整個層寫的時候，要用向量 a 表示相應(yīng)層的激活值。因此， 向量 x 可以看做第0層輸入層的激活值。每層的各個神經(jīng)元相似地滿足如下等式：

為了清楚起見，以下是第二層的所有表達式：

可見，每層的表達式都是相似的。用 for 循環(huán)來表示很低效，因此為了加速計算速度我們使用了向量化。首先，將權(quán)重向量 w 的轉(zhuǎn)置堆疊成矩陣 W。相似地，將各個神經(jīng)元的偏差也堆在一起組成列向量 b。由此，我們就可以很輕松地寫出一個矩陣等式來表示關(guān)于某一層的所有神經(jīng)元的計算。使用的矩陣和向量維數(shù)表示如下：

▌多樣本向量化

到目前為止，我們寫出的等式僅包含一個樣本。但在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程中，通常會處理一個龐大的數(shù)據(jù)集，可達百萬級的輸入。因此，下一步需要進行多樣本向量化。我們假設(shè)數(shù)據(jù)集中含有 m 個輸入，每個輸入有 nx 個特征。首先，將每層的列向量 x, a, z 分別堆成矩陣 X, A, Z。然后，根據(jù)新的矩陣重寫之前的等式。

▌什么是激活函數(shù)？我們?yōu)槭裁葱枰?/p>

激活函數(shù)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵元素之一。沒有它們，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就只是一些線性函數(shù)的組合，其本身也只能是一個線性函數(shù)。我們的模型有復(fù)雜度的限制，不能超過邏輯回歸。其中，非線性元保證了更好的適應(yīng)性，并且能在學(xué)習(xí)過程中提供一些復(fù)雜的函數(shù)。激活函數(shù)對學(xué)習(xí)的速度也有顯著影響，這也是在選擇時的評判標(biāo)準(zhǔn)之一。圖六展示了一些常用的激活函數(shù)。近年來，隱藏層中使用最廣的激活函數(shù)大概就是 ReLU 了。不過，當(dāng)我們在做二進制分類問題時，我們有時仍然用 sigmoid，尤其是在輸出層中，我們希望模型返回的值在0到1之間。

圖六 常用激活函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)函數(shù)圖像

▌?chuàng)p失函數(shù)

關(guān)于學(xué)習(xí)過程進展的基本的信息來源就是損失函數(shù)值了。通常來說，損失函數(shù)可以表示我們離“理想”值還差多遠。在本例中，我們用binary crossentropy（兩元交叉熵）來作為損失函數(shù)，不過還有其他的損失函數(shù)，需要具體問題具體分析。兩元交叉熵函數(shù)表示如下：

下圖展示了在訓(xùn)練過程中其值的變化，可見其值隨著迭代次數(shù)如何增加與減少，精度如何提高

圖七 訓(xùn)練過程中精確度及損失的變化

▌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如何學(xué)習(xí)？

學(xué)習(xí)過程其實就是在不斷地更新參數(shù) W 和 b 的值從而使損失函數(shù)最小化。為此，我們運用微積分以及梯度下降的方法來求函數(shù)的極小。在每次迭代中，我們將分別計算損失函數(shù)對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的每個參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)值。對這方面計算不太熟悉的小伙伴，我簡單解釋一下，導(dǎo)數(shù)可以刻畫函數(shù)的（斜率）。我們已經(jīng)知道了怎樣迭代變量會有怎么樣的變化，為了對梯度下降有更直觀的認(rèn)識，我展示了一個可視化動圖，從中可以看到我們是怎么通過一步步連續(xù)的迭代逼近極小值的。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中也是一樣的——每一輪迭代所計算的梯度顯示我們應(yīng)該移動的方向。而他們間最主要的差別在于，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要計算更多的參數(shù)。確切地說，怎么計算如此復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)呢？

圖八 動態(tài)梯度下降

▌反向傳播算法

反向傳播算法是一種可以計算十分復(fù)雜的梯度的算法。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，各參數(shù)的調(diào)整公式如下：

其中，超參數(shù) α 表示學(xué)習(xí)率，用以控制更新步長。選定學(xué)習(xí)率是非常重要的——太小，NN 學(xué)習(xí)得太慢；太大，無法達到極小點。用鏈?zhǔn)椒▌t計算 dW 和 db —— 損失函數(shù)對 W 和 b 的偏導(dǎo)數(shù)， dW 和 db 的維數(shù)與 W 和 b 相等。圖九展示了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的一系列求導(dǎo)操作，從中可以清楚地看到前向和后向傳播是怎樣共同優(yōu)化損失函數(shù)的。

圖九 前向與后向傳播

▌結(jié)論

希望這篇文章對各位小伙伴理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部運用的數(shù)學(xué)原理有所幫助。當(dāng)我們使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時，理解這個過程的基本原理是很有幫助的。文中講述的內(nèi)容雖然只是冰山一角，但都是我認(rèn)為最重要的知識點。因此，我強烈建議大家能試著獨立地去編一個小的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，不要依賴框架，僅僅只用 Numpy 嘗試一下。