光與掩?；蚓A的形貌特征的相互作用可以用麥克斯韋(Maxwell)方程組來(lái)描述。通常,掩模和晶圓上的材料都是非磁性和各向同性的。掩模和晶圓都不包含電流源。因此，麥克斯韋方程組可以寫(xiě)成:

這些方程連接空間和時(shí)間t相關(guān)的電e=(E，E，E2)和磁h=(H，H，H)矢量場(chǎng)。常數(shù)eo、o分別為自由空間的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。e和分別表示仿真域中與材料和位置相關(guān)的介電常數(shù)和電導(dǎo)率，它們包含所考慮的掩?；蚓A的幾何形狀信息。

EMF仿真方法通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法求解給定幾何形狀、材料參數(shù)以及邊界和人射場(chǎng)條件的麥克斯韋方程組。人射場(chǎng)是照到掩模或晶圓上的平面波。有限尺寸仿真區(qū)域的邊界條件通常選擇在橫向上是周期性的圖形，即垂直于掩模和晶圓平面(x和y)。垂直方向(z)上的透明邊界條件確保沒(méi)有光反射回人射光側(cè)或從晶圓側(cè)沒(méi)有反射光。

不同的EMF仿真方法已被用來(lái)描述光刻中掩模和晶圓的光散射。光刻仿真中最流行的方法是時(shí)域有限差分(FDTD)法和波導(dǎo)法(Waveguide),這將在下節(jié)中介紹。此外,有限元方法(FEM)[2-4]、有限積分技術(shù)(FIT)[5]和偽光譜時(shí)城(PSTD)方法[6]也已用于光刻仿真。這些方法的詳細(xì)信息可以在本章引用的參考文獻(xiàn)中找到。

一般而言,麥克斯韋方程組耦合了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的所有六個(gè)分量,描述3D散射問(wèn)題需要求解完整的麥克斯韋方程組。二維(2D)散射問(wèn)題為其一個(gè)重要的特例,其六個(gè)耦合場(chǎng)分量的完整麥克斯韋方程組可解耦合為三個(gè)場(chǎng)分量的兩個(gè)獨(dú)立的微分方程組。如果人射波的幾何形狀和分量在一個(gè)橫向方向上是常數(shù)，那么就是這種情況。假設(shè)y方向的幾何形狀和場(chǎng)不變,方程(9-1)和方程(9-2)可以改寫(xiě)為兩個(gè)解耦的微分方程組。

這些方程描述了TE和TM偏振光沿y方向的線空?qǐng)D形的衍射。這種2D衍射問(wèn)題的數(shù)值解決方案比完整的3D情況所需要的計(jì)算資源更少。以下部分中的大多數(shù)示例和解釋都是針對(duì)此類2D衍射問(wèn)題給出的,其對(duì)一般3D案例的擴(kuò)展可以在引用的文獻(xiàn)中找到。

9.1.1 時(shí)域有限差分法

時(shí)域有限差分(FDTD)方法的基本思想是將方程(9-1)和方程(9-2)隨著時(shí)間進(jìn)行積分[7]。數(shù)值積分是在不同的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的特殊交錯(cuò)網(wǎng)格進(jìn)行的。在這種交錯(cuò)網(wǎng)格上,TE方程(9-5)的有限差分公式可表達(dá)為

方程(9-7)和方程(9-8)提供了電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量隨時(shí)間的更新方程。它們描述了基于前一時(shí)間m-1中的場(chǎng)分量計(jì)算時(shí)間m處的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量。磁場(chǎng)分量指數(shù)中的1/2表示電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量之間的時(shí)間交錯(cuò)。對(duì)于2DTM偏振情況和一般3D情況，可以推導(dǎo)出類似的表達(dá)式[8]。場(chǎng)分量在空間和時(shí)間上的交錯(cuò)保證了所獲得的解也滿足剩下的兩個(gè)麥克斯韋方程(9-3)和方程(9-4)。

FDTD在許多實(shí)際案例中的應(yīng)用需要一些額外的技巧，包括用于強(qiáng)吸收材料建模的Luebbers方法[9]、引人完美匹配層對(duì)透明邊界條件的有效建模方法[10]，以及引人仿真域中有效電磁場(chǎng)激發(fā)的總/散射場(chǎng)概念。Taflove[8]在其書(shū)中解釋了所有這些技巧以及有關(guān)FDTD在電磁場(chǎng)仿真中實(shí)施和應(yīng)用的許多其他細(xì)節(jié)。Alfred Wong[11]開(kāi)創(chuàng)了FDTD法在光刻掩模光衍射的嚴(yán)格仿真中的應(yīng)用。

圖9-2為光強(qiáng)度相對(duì)于標(biāo)稱FDTD積分時(shí)間的FDTD的仿真結(jié)果。掩模結(jié)構(gòu)的幾何形狀如圖9一2左上圖所示。光從所示區(qū)域的頂部人射,在標(biāo)稱積分時(shí)250間的10%處,人射光已到達(dá)交替型PSM的蝕刻溝槽,部分光從溝槽的底部界面反射并產(chǎn)生駐波圖形。在標(biāo)稱仿真時(shí)間的15%時(shí),傳播的光已到達(dá)玻璃襯底的底面,玻璃/鉻界面處的高反射會(huì)在掩模襯底的相應(yīng)區(qū)域產(chǎn)生強(qiáng)烈調(diào)制的駐波圖形,玻璃/空氣界面上方的駐波圖形不太明顯。在標(biāo)稱仿真時(shí)間的15%之后,光開(kāi)始在掩模下方的空氣空間中傳播。在標(biāo)稱積分時(shí)間內(nèi),光強(qiáng)度已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),掩模附近的近場(chǎng)強(qiáng)度分布則不再變化。當(dāng)達(dá)到這種穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),可以提取掩模的透射近場(chǎng)并用于進(jìn)一步的成像仿真。

FDTD方法是一種空間域方法，所考慮圖案的幾何形狀必須用等距網(wǎng)格來(lái)描述，如圖9-3左圖所示。這種等距網(wǎng)格和用此表示的掩模幾何圖形限制了所獲得結(jié)果的精確性。亞像素技術(shù)[12]和網(wǎng)格的局部細(xì)化[13]被提出用以減少仿真結(jié)果的離散化誤差。

FDTD是一種非常靈活的方法，可以應(yīng)用于幾乎任意的幾何形狀和人射場(chǎng)條件，因?yàn)槠湎鄬?duì)容易被改寫(xiě)以滿足不同的應(yīng)用需求。FDTD的精度取決于幾個(gè)數(shù)值參數(shù):FDTD網(wǎng)格的空間離散化 x(=y=z)、積分時(shí)間以及邊界條件和色散關(guān)系的數(shù)值公式中使用的其他參數(shù)。FDTD的數(shù)值計(jì)算量與所考慮的仿真區(qū)域的大小成線性比例。

9.1.2波導(dǎo)法

波導(dǎo)法解決了空間頻域固定波長(zhǎng)單色光的電磁場(chǎng)衍射問(wèn)題。電磁場(chǎng)和所考慮的幾何形狀以傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，這個(gè)過(guò)程產(chǎn)生了一個(gè)大體系的線性方程組,它描述了仿真區(qū)域內(nèi)場(chǎng)的傅里葉分量的傳播和耦合，產(chǎn)生的電磁場(chǎng)是通過(guò)解人射場(chǎng)方程組獲得的。例如，波導(dǎo)法的詳細(xì)數(shù)學(xué)公式可以參見(jiàn)Lucas等人的文章[14]。

波導(dǎo)法與嚴(yán)格耦合波分析(RCWA)幾乎完全相同，這兩種方法都是在20世紀(jì)80年代初期獨(dú)立提出的(RCWA[15]、波導(dǎo)法[16)，并在不同的領(lǐng)域中發(fā)展起來(lái)。RCWA主要用于分析各種應(yīng)用的衍射光柵,而波導(dǎo)法最初設(shè)計(jì)用于光刻掩模和晶圓上圖形微成像的精確建模。傅里葉模態(tài)法(FMM)是一種類似的方法，但它沿第三維度z方向使用了額外的傅里葉展開(kāi)。本章后的參考文獻(xiàn)[17]對(duì)這類方法進(jìn)行了全面的回顧。因?yàn)楸緯?shū)針對(duì)的讀者主要是對(duì)光刻感興趣的人，所以接下來(lái)的討論將使用波導(dǎo)法術(shù)語(yǔ)。事實(shí)上,FMM/RCWA發(fā)展背后的許多想法也被應(yīng)用于波導(dǎo)法[18.19]。

與在空間域中計(jì)算光衍射的FDTD不同，波導(dǎo)法是在空間頻域中進(jìn)行的。此外,波導(dǎo)法求解麥克斯韋方程組的時(shí)間諧波形態(tài),采用了明確的時(shí)間依賴系:

在切片s內(nèi)針對(duì)未知電磁場(chǎng)系數(shù)生成線性方程。該方程組將有限數(shù)量的傅里葉展開(kāi)系數(shù)的解用于構(gòu)造傳遞矩陣，該矩陣將切片的上下邊界處的場(chǎng)分量連接起來(lái)。傳遞矩陣方法的推廣得到的矩陣為散射問(wèn)題提供了波導(dǎo)法的解決方案。一般情況下，波導(dǎo)法的實(shí)現(xiàn)包括引人特殊場(chǎng)勢(shì)[14)和針對(duì)所需的傅里葉階數(shù)的提高收斂性的方法[20.21]。

圖9-4顯示了二元鉻掩模的仿真透射近場(chǎng)，圖中的曲線對(duì)應(yīng)不同數(shù)量的波導(dǎo)階數(shù)或電磁場(chǎng)傅里葉擴(kuò)展系數(shù)。波導(dǎo)階數(shù)(wgOrder)指定了正負(fù)方向上的擴(kuò)展系數(shù)的數(shù)量。例如,波導(dǎo)階數(shù)wgOrder=10涵蓋了從-10~+10的傅里葉展開(kāi)。近場(chǎng)的正確表示需要相對(duì)于TE偏振照明更多的TM偏振波導(dǎo)階數(shù)。更詳細(xì)的研究表明，TM偏振照明的附加傅里葉展開(kāi)系數(shù)僅用于正確表示更明顯的倏逝波(有關(guān)倏逝波和潛在應(yīng)用的討論,請(qǐng)參見(jiàn)7.3.1節(jié))。對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)計(jì)算的wgOrder和典型光刻掩模,波導(dǎo)法的收斂分析表明TE和TM 偏振照明之間并無(wú)顯著差異。

如本例所述，波導(dǎo)法的仿真精度取決于場(chǎng)的傅里葉展開(kāi)階數(shù)或波導(dǎo)階數(shù)。所需的波導(dǎo)級(jí)數(shù)取決于所使用的波長(zhǎng)入、掩模周期(掩模尺度)以及最小/最大折射率與相關(guān)材料的消光值之間的差異。獲得良好精度的經(jīng)驗(yàn)法則是:

波導(dǎo)法的計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存要求由波導(dǎo)階數(shù)和非同質(zhì)切片的數(shù)量決定。在大多數(shù)實(shí)際相關(guān)案例中,與FDTD相比,波導(dǎo)法對(duì)單色波時(shí)間相關(guān)性的正確表示，以及切片內(nèi)正確幾何的描述為光刻問(wèn)題提供了卓越的仿真性能。兩種方法之間的詳細(xì)比較可參見(jiàn)本章后的參考文獻(xiàn)[22]。

波導(dǎo)法標(biāo)準(zhǔn)公式的一個(gè)缺點(diǎn)是它所需的計(jì)算量縮放與所考慮的仿真域的大小有關(guān),尤其是對(duì)于3D仿真。通常,FDTD與所考慮的仿真域在x和y方向的擴(kuò)展成線性比例。相比之下，波導(dǎo)法與wgOrderX3xwgOrderY成比例。這里wgOrderX和wgOrderY分別是x和y方向所需的波導(dǎo)階數(shù),并且與相應(yīng)的掩模大小或周期成正比[見(jiàn)方程(9-10)]。這種不利的計(jì)算量縮放關(guān)系可以通過(guò)9.2.5節(jié)中描述的分解方法和參考資料實(shí)現(xiàn)部分的避免。