在學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理時(shí),很多種頻率很容易搞混淆,有模擬/數(shù)字/頻率/角頻率等等,也不是特別清楚不同頻率之間的關(guān)系,希望這篇文件可以為各種頻率來(lái)個(gè)了結(jié).

4種頻率及其數(shù)量關(guān)系

實(shí)際物理頻率表示物理信號(hào)的真實(shí)頻率; fs為采樣頻率,表示ADC采集物理信號(hào)的頻率，由奈奎斯特采樣定理可以知道，fs必須≥信號(hào)最高頻率的2倍才不會(huì)發(fā)生信號(hào)混疊，因此fs能采樣到的信號(hào)最高頻率為fs/2。
角頻率Ω是物理頻率的2π倍, 這個(gè)也稱模擬頻率。
歸一化頻率是將物理頻率按fs歸一化之后的結(jié)果，最高的信號(hào)頻率為fs/2對(duì)應(yīng)歸一化頻率0.5(ω=π)，這也就是為什么在matlab的fdatool工具中歸一化頻率為什么最大只到0.5的原因。歸一化頻率中不含fs的信息.
圓周頻率是歸一化頻率的2*pi倍，這個(gè)也稱數(shù)字頻率ω。

有關(guān)FFT頻率與實(shí)際物理頻率的分析

做n個(gè)點(diǎn)的FFT，表示在時(shí)域上對(duì)原來(lái)的信號(hào)取了n個(gè)點(diǎn)來(lái)做頻譜分析，n點(diǎn)FFT變換的結(jié)果仍為n個(gè)點(diǎn)。
換句話說(shuō)，就是將2π數(shù)字頻率ω分成n份，而整個(gè)數(shù)字頻率ω的范圍覆蓋了從0-2π*fs的模擬頻率范圍。這里的fs是采樣頻率。而我們通常只關(guān)心0-π中的頻譜，因?yàn)楦鶕?jù)奈科斯特定律，只有f=fs/2范圍內(nèi)的信號(hào)才是被采樣到的有效信號(hào)。那么，在w的范圍內(nèi)，得到的頻譜肯定是關(guān)于n/2對(duì)稱的。
舉例說(shuō)，如果做了16個(gè)點(diǎn)的FFT分析，你原來(lái)的模擬信號(hào)的最高頻率f=32kHz，采樣頻率是64kHz，n的范圍是0,1,2...15。這時(shí)，64kHz的模擬頻率被分成了16分，每一份是4kHz，這個(gè)叫頻率分辨率。那么在橫坐標(biāo)中，n=1時(shí)對(duì)應(yīng)的f是4kHz, n=2對(duì)應(yīng)的是8kHz, n=15時(shí)對(duì)應(yīng)的是60kHz，你的頻譜是關(guān)于n=8對(duì)稱的。你只需要關(guān)心n=0到7以內(nèi)的頻譜就足夠了，因?yàn)?，原?lái)信號(hào)的最高模擬頻率是32kHz。
這里可以有兩個(gè)結(jié)論:

必須知道原來(lái)信號(hào)的采樣頻率fs是多少，才可以知道每個(gè)n對(duì)應(yīng)的實(shí)際頻率是多少，第k個(gè)點(diǎn)的實(shí)際頻率的計(jì)算為f(k)=k*(fs/n)

你64kHz做了16個(gè)點(diǎn)FFT之后，因?yàn)轭l率分辨率是4kHz，如果原來(lái)的信號(hào)在5kHz或者63kHz有分量，你在頻譜上是看不見(jiàn)的，這就表示你越想頻譜畫(huà)得逼真，就必須取越多的點(diǎn)數(shù)來(lái)做FFT，n就越大，你在時(shí)域上就必須取更長(zhǎng)的信號(hào)樣本來(lái)做分析。但是無(wú)論如何，由于離散采樣的原理，你不可能完全準(zhǔn)確地畫(huà)出原來(lái)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的真實(shí)頻譜，只能無(wú)限接近（就是n無(wú)限大的時(shí)候），這個(gè)就叫做頻率泄露。在采樣頻率fs不變得情況下，頻率泄漏可以通過(guò)取更多的點(diǎn)來(lái)改善，也可以通過(guò)做FFT前加窗來(lái)改善，這就是另外一個(gè)話題了。

為什么抽取/內(nèi)插看起來(lái)對(duì)頻譜有影響?

在數(shù)字信號(hào)處理時(shí),經(jīng)常需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行抽取或者內(nèi)插處理.抽取之后的頻率展寬了n倍,內(nèi)插之后的頻率壓縮了n倍,從而需要在變采樣率之后添加抗混疊濾波器.但是實(shí)際上信號(hào)的頻率在抽取/內(nèi)插的前后并沒(méi)有發(fā)生變化.這里的核心原因是:歸一化頻率失去了采樣率fs信息.
抽取和內(nèi)插的實(shí)質(zhì)是采樣率fs的變化

舉個(gè)例子:
我們?cè)O(shè)定fs=30.72MHz,使用3個(gè)cw信號(hào)的合成信號(hào)代表一個(gè)BW=8MHz的寬帶信號(hào),使用實(shí)際頻率來(lái)表示信號(hào),看到BW沒(méi)有變化,使用數(shù)字頻率w來(lái)表示信號(hào),信號(hào)的BW似乎被壓縮了.

Q: 為什么要在歸一化頻率下來(lái)分析信號(hào)?

歸一化頻率

clear all;

close all;

fs = 30.72e6;

ts = 1/fs;

nFFT=4096;

%nFFT=32768;

t=0:ts：（nFFT-1）*ts;

d0=100*sin（2*pi*10e6*t）;

d1=50*cos（2*pi*5e6*t）;

d2=10*cos（2*pi*2e6*t）;

dSum=d0+d1+d2;

dFFT = abs（fftshift（fft（dSum，nFFT）））/（nFFT/2）;

%dFFT = abs（fft（dSum，nFFT））/（nFFT/2）;

fAxis = （-1/2*nFFT：（1/2*nFFT-1））/nFFT*fs;

figure（1）

subplot（2，1，1）

plot（fAxis，dFFT）

title（‘original signal’）

subplot（2，1，2）

dSumI= zeros（1，2*nFFT）;

for k =1:nFFT

dSumI（2*k） = dSum（k）;

end

dFFTI = abs（fftshift（fft（dSumI，2*nFFT）））/（nFFT）;

fAxisI = （-nFFT：（nFFT-1））/（2*nFFT）*fs*2; %fs double

plot（fAxisI，dFFTI）

title（‘interpolated signal’）

figure（2）

subplot（2，1，1）

wAxis = 2*pi*（-1/2*nFFT：（1/2*nFFT-1））/（nFFT）;

plot（wAxis，dFFT）

set（gca，‘XTick’，-2*pi:pi/2:2*pi）

title（‘original signal normalize’）

subplot（2，1，2）

wAxisI = 2*pi*（-nFFT：（nFFT-1））/（2*nFFT）;

plot（wAxisI，dFFTI）

set（gca，‘XTick’，-2*pi:pi/2:2*pi）

title（‘interpolated signal normalize’）