本文通過(guò)案例介紹了正態(tài)分布和貝塔分布的概念。

正態(tài)分布

正態(tài)分布，是一種非常常見(jiàn)的連續(xù)概率分布，其也叫做常態(tài)分布（normal distribution），或者根據(jù)其前期的研究貢獻(xiàn)者之一高斯的名字來(lái)稱(chēng)呼，高斯分布（Gaussian distribution）。正態(tài)分布是自然科學(xué)與行為科學(xué)中的定量現(xiàn)象的一個(gè)方便模型。

各種各樣的心理學(xué)測(cè)試結(jié)果和物理現(xiàn)象的觀測(cè)值，比如光子計(jì)數(shù)等都被發(fā)現(xiàn)近似地服從正態(tài)分布。甚至生活中很多現(xiàn)象的表征結(jié)果也符合正態(tài)分布的分布規(guī)律。盡管這些現(xiàn)象的根本原因經(jīng)常是未知的，甚至被采樣的樣本的原始群體分布并不服從正態(tài)分布，但這個(gè)變量的采樣分布均值仍會(huì)近似服從正態(tài)分布。

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)呈左右對(duì)稱(chēng)的鐘形，其具體表達(dá)式為：

因?yàn)檎龖B(tài)分布是如此的常見(jiàn)而這個(gè)式子是如此的奇怪，我們打算重溫高斯當(dāng)年的推導(dǎo)過(guò)程，但部分細(xì)節(jié)不會(huì)那么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，只是帶領(lǐng)大家看看高斯當(dāng)年的思路是如何的。

首先，高斯事先假定了如下條件，才得到了正態(tài)分布的連續(xù)密度函數(shù)。

即： 誤差分布導(dǎo)出的極大似然估計(jì) = 算術(shù)平均值

這里我們把全部過(guò)程用直白的語(yǔ)言復(fù)述一遍。

貝塔分布

貝塔分布，beta分布，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是一個(gè)事件出現(xiàn)的概率的概率密度分布。

舉個(gè)例子，籃球比賽的三分命中率是衡量籃球后衛(wèi)運(yùn)動(dòng)員很重要的一個(gè)指標(biāo)。通過(guò)過(guò)去的歷史經(jīng)驗(yàn)，我們知道運(yùn)動(dòng)員的三分命中率很難超過(guò)40%。假如老張是一個(gè)優(yōu)秀老練的籃球后衛(wèi)，其過(guò)去歷史的三分命中率是35%，總投數(shù)為10000次，命中次為3500次。請(qǐng)問(wèn)他在新賽季剛開(kāi)始的時(shí)候，得到了一次三分投球機(jī)會(huì)，請(qǐng)問(wèn)他這次投中的概率服從什么分布呢？

我們必須清楚，這個(gè)概率一定不是確定的，而是服從某種分布。這個(gè)概率密度分布函數(shù)應(yīng)該在0.35處最大，沿兩邊逐漸遞減。

這個(gè)概率就服從beta分布。確切的說(shuō)，是服從

還有個(gè)運(yùn)動(dòng)員小張，而小張很年輕也很優(yōu)秀，他的歷史三分命中率也是35%，但是總投數(shù)為1000次，命中次數(shù)為350次。請(qǐng)問(wèn)他在新賽季首投三分，命中概率的分布和老張一樣嗎？

明顯不一樣！雖然他們的歷史投球命中率都是35%，但是我們直覺(jué)認(rèn)為老張比小張更靠譜，老張首投命中的概率密度分布應(yīng)該在0.35附近高于小張的。事實(shí)上，我們可以迅速借助python的scipy庫(kù)中內(nèi)置的beta統(tǒng)計(jì)方法。

我們來(lái)看一下圖像。

的確如此。那么beta分布的具體表達(dá)式是什么呢？

關(guān)于伽馬函數(shù)和貝塔函數(shù)，這里我們不做贅述。

需要指出的是，看起來(lái)beta分布的概率密度函數(shù)和高斯分布的曲線很像，實(shí)則不然。

再舉個(gè)例子，假如老張的孫子也想做做運(yùn)動(dòng)員，老張煞有介事的統(tǒng)計(jì)了小小張的歷史三分投數(shù)，為5投1中。問(wèn)他下一次投球，也就是第六次投球，命中的概率的分布是怎樣的？如果過(guò)去是5投2中，5投3中，和5投4中呢？

可以看到，beta分布的PDF和高斯分布的曲線形狀差別可大了。
編輯：hfy