本文以線性伺服電機(jī)的用例說明了比例積分微分 (PID) 控制，包括其背后的數(shù)學(xué)原理。

通過本文你將能了解到：

PI

D 控制的基礎(chǔ)知識。

電

路中連接元件以完成位置控制的 PID 功能的那些部分的注意事項(xiàng)。

固件

代碼實(shí)現(xiàn)。

比例積分微分 (PID) 控制是用于調(diào)節(jié)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的常用方法。在許多工業(yè)設(shè)備中都可以找到示例，其中它用于控制溫度、壓力、流量、速度或位置等。 PID 控制背后的理論和數(shù)學(xué)一直是很多討論的主題。但是如何應(yīng)用這些數(shù)學(xué)和理論來實(shí)現(xiàn)一個(gè)真實(shí)的設(shè)備呢？為了演示這是如何完成的，本文將探討一個(gè)完整的示例。

位置控制的任務(wù)將針對線性伺服電機(jī)的情況進(jìn)行討論。首先，介紹控制 PID 控制器運(yùn)行的數(shù)學(xué)函數(shù)。我們將展示函數(shù)的各個(gè)部分如何在實(shí)際設(shè)計(jì)中組合在一起。具體來說，我們將解決電路中接口元件的注意事項(xiàng)，以完成用于位置控制的 PID 功能的那些部分，以及在將執(zhí)行控制的微控制器的固件代碼中實(shí)現(xiàn)該功能所涉及的內(nèi)容。

PID 基礎(chǔ)知識

作為任何 PID 控制應(yīng)用基礎(chǔ)的通用數(shù)學(xué)函數(shù)可以表述如下：

其中e(t)是偏差值：

對于位置控制，r(t)為設(shè)定位置，y(t)為當(dāng)前位置。

一張圖可以讓我們更直觀地理解這個(gè)數(shù)學(xué)在應(yīng)用于伺服電機(jī)時(shí)是如何工作的。圖 1說明了線性伺服 PID 控制系統(tǒng)的框圖。

圖1、線性伺服PID控制系統(tǒng)。

圖 1中描繪的系統(tǒng)的一些關(guān)鍵元素是設(shè)置位置輸入（設(shè)定點(diǎn)，或我們的線性執(zhí)行器的目標(biāo)位置）、驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器的某些占空比的脈沖寬度調(diào)制 (PWM) 信號，以及執(zhí)行器的當(dāng)前位置。它們分別對應(yīng)于數(shù)學(xué)方程式中的量r(t)、 u(t)和y(t) 。

之所以稱為閉環(huán)控制，是因?yàn)榉答伝芈穼⒂嘘P(guān)當(dāng)前狀態(tài)的信息傳遞回系統(tǒng)，使其能夠獲得當(dāng)前狀態(tài)與所需設(shè)定點(diǎn)之間的差異，必須對其進(jìn)行校正。具體到我們的案例，從設(shè)置位置中減去當(dāng)前位置以獲得誤差（或偏差）信號，如上所示。此誤差對應(yīng)于數(shù)量e(t)。

正如文章開頭提到的，PID 代表比例、積分和微分。這些是指為調(diào)節(jié) PID 控制系統(tǒng)的運(yùn)行而生成的三個(gè)控制信號。

如數(shù)學(xué)和圖表所示，三個(gè)控制信號由誤差信號產(chǎn)生，從Proportional、Integral和Derivative模塊輸出——也標(biāo)有它們各自的增益K p、K i和K d ——并且是結(jié)合起來產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器的 PWM 信號的占空比。

現(xiàn)在我們已經(jīng)描述了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，我們想在固件中實(shí)現(xiàn)它。但要做到這一點(diǎn)，我們需要了解如何將線性致動(dòng)器與微控制器連接起來。具體來說，我們?nèi)绾螐腜ID函數(shù)中獲取Duty Cycle信號來驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器，以及執(zhí)行器如何產(chǎn)生Current Position信號反饋給PID函數(shù)？

隨后，我們可以解釋如何將PID函數(shù)翻譯成用C語言編寫的固件源代碼。然后將提供一些演示工作實(shí)施的示例數(shù)據(jù)，作為理解三個(gè) PID 控制信號的作用以及如何調(diào)整其性能的基礎(chǔ)。

電氣連接線性致動(dòng)器

線性致動(dòng)器用于提升、傾斜、拉動(dòng)或推動(dòng)物體（圖 2）。我們這里使用的微型線性執(zhí)行器由驅(qū)動(dòng)部分的直流伺服電機(jī)和位置傳感部分的電位器組成。

圖2. 線性致動(dòng)器的示例。

對于該裝置，PID 控制器板需要輸出 12V PWM 信號來控制電機(jī)速度，并使用模數(shù)轉(zhuǎn)換器 (ADC) 通道來感測執(zhí)行器的位置。因此，我們應(yīng)該在微控制器上配置兩個(gè) GPIO 引腳，一個(gè)用于 PWM，另一個(gè)用于 ADC。

線性執(zhí)行器的位置輸出是一個(gè)電阻值。如果電位器連接在電源V dd和地GND之間（圖 3），則可以將抽頭處的電阻作為簡單分壓器的輸出進(jìn)行測量。位置的范圍和單位從 0 ~ 10,000 Ω 對應(yīng)為 0 ~ V dd V，ADC 將電壓轉(zhuǎn)換為數(shù)字值，即我們實(shí)現(xiàn)的當(dāng)前位置y(t)。如果 ADC 的分辨率為 10 位，則此數(shù)字值介于 0 和 1023 之間。

圖3、電位器ADC電路。

我們的控制器輸出u(t)也可以是表示電壓的數(shù)字值，這很方便。然而，該控制器輸出驅(qū)動(dòng)線性致動(dòng)器，線性致動(dòng)器不期望變化的電壓作為輸入來控制其速度，而是期望具有變化占空比的固定電壓 PWM 信號。因此，需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

圖 4中的圖表顯示了 0 V 至 12 V 的電壓如何轉(zhuǎn)換為具有 0% 至 100% 占空比的可變寬度脈沖的 12 V PWM 信號。嚴(yán)格來說，高于 12 V 的電壓也必須考慮在內(nèi)，并且必須轉(zhuǎn)換為 100% 的占空比，因?yàn)閿?shù)學(xué)決不會(huì)將控制器輸出限制在 12 V 以下。

圖4. PWM 信號圖。

作為關(guān)于執(zhí)行器接口的最后評論，我們應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，只有我們選擇的設(shè)備的速度控制和位置傳感特性的性質(zhì)引導(dǎo)我們將 u(t) 和 y(t) 都指定為我們實(shí)施中的電壓值。這些數(shù)值沒有其他關(guān)系，如果受控設(shè)備接口的性質(zhì)另有規(guī)定，在另一個(gè)應(yīng)用程序中甚至可能不在同一測量單位中。

編寫固件

對于用作 PID 控制器的固件，它必須確定誤差值e(t)，評估 PID 函數(shù)以調(diào)整驅(qū)動(dòng)設(shè)備的信號u(t) ，并隨著時(shí)間的推移連續(xù)執(zhí)行此操作。然而，對于固件執(zhí)行而言，以真正連續(xù)的方式執(zhí)行任務(wù)并不是一個(gè)可行的概念。最接近的是在很短的時(shí)間間隔內(nèi)快速重復(fù)或迭代任務(wù)。?

如果該任務(wù)是 PID 算法，則其連續(xù)時(shí)間數(shù)學(xué)需要用離散時(shí)間版本替換，具有以下含義：

1. 固定間隔T被指定為迭代之間的時(shí)間，即它們的周期。

2. 將連續(xù)時(shí)間t時(shí)刻的誤差值e(t)的評估替換為離散時(shí)間迭代n時(shí)的評估，即e(n)?=?r(n)?–?y(n)，其中n?= 0 , 1, 2, …

3. e(t)的連續(xù)時(shí)間積分由e(n)T的離散時(shí)間求和代替。

4. e(t)的連續(xù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)替換為e(n)在前一次迭代和當(dāng)前迭代之間的線性斜率——即：

因此，在第n次迭代中評估的離散時(shí)間輸出信號u(n)可以表示如下：

現(xiàn)在我們可以實(shí)現(xiàn)離散時(shí)間PID控制功能了。在示例 C 代碼（參見下面的代碼列表）中，變量和常量的名稱與數(shù)學(xué)方程式中的相應(yīng)元素非常匹配。此代碼可以在 PID 固件的每次迭代中執(zhí)行，通常在配置為每T毫秒觸發(fā)一次的定時(shí)器中斷內(nèi)執(zhí)行。

/* 當(dāng)前誤差- 比例項(xiàng) */

e = r - y;

/* 累積誤差- 積分項(xiàng) */

總誤差 += e;

/* 差分誤差- 導(dǎo)數(shù)項(xiàng) */

deltaError = e - 先前的錯(cuò)誤；

/* PID控制*/

u = Kp * e + Ki * (totalError * T) + Kd * (deltaError /T);

/* 同時(shí)為下一次迭代做準(zhǔn)備——將之前的設(shè)置為當(dāng)前錯(cuò)誤 */

以前的錯(cuò)誤= e；

剩下要做的是為 PID 增益K p、K i、和K d以便系統(tǒng)在被要求移動(dòng)到選定的設(shè)定點(diǎn)時(shí)正確執(zhí)行。我們將為這些增益手動(dòng)選擇不同的值，以研究它們對位置控制的影響，并在此過程中演示調(diào)整它們的通用方法。我們還將深入了解控制功能中每個(gè)術(shù)語的用途。

PID 增益調(diào)整

有幾個(gè)評估系統(tǒng)性能的標(biāo)準(zhǔn)，包括死區(qū)時(shí)間、上升時(shí)間、過沖、穩(wěn)定時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差。雖然在調(diào)整 PID 增益之前應(yīng)根據(jù)這些標(biāo)準(zhǔn)定義性能預(yù)期，但此類預(yù)期取決于應(yīng)用程序的要求。因此，就本文而言，足以說明各種標(biāo)準(zhǔn)何時(shí)受到不同增益調(diào)整的影響。

Kp , K i , _和Kd增益將單獨(dú)調(diào)整，并按此順序，給定一個(gè)選定的設(shè)置點(diǎn)。更具體地說，代碼將在每次執(zhí)行時(shí)將其中一個(gè)增益設(shè)置為不同的值，并將 r 的值設(shè)置為 700。

至于這個(gè) 700 值的相關(guān)性，讀者應(yīng)該記得Current Position是一個(gè)數(shù)字值，表示從執(zhí)行器的電位器獲得的電壓，而Current Position現(xiàn)在在我們的代碼中由變量 y 表示。設(shè)置位置-表示我們代碼中的變量 r - 是相同范圍內(nèi)的數(shù)字值，如前所述，如果 ADC 具有 10 位分辨率，則該值介于 0 和 1023 之間。因此，700 的設(shè)定點(diǎn)值是合理的，盡管是任意的。

調(diào)整 K?p以接近目標(biāo)位置

Kp是比例增益?？刂坪瘮?shù)的比例項(xiàng)通過使用與該電流誤差成比例的信號移動(dòng)線性致動(dòng)器來補(bǔ)償電流誤差。比例項(xiàng)用于使當(dāng)前位置接近目標(biāo)是有意義的，因?yàn)樵撜`差是執(zhí)行器的設(shè)定位置與其當(dāng)前位置之間的差異。比例項(xiàng)使控制函數(shù)尋求將其減少到零。

在調(diào)整的第一步中，我們將積分和微分增益K i和K d設(shè)置為零，并增加比例增益K p直到致動(dòng)器穩(wěn)定在目標(biāo)位置附近 (700)。比例增益太高會(huì)引起振蕩。

圖 5中的圖表顯示了對于不同的K p值，執(zhí)行器的當(dāng)前位置如何隨時(shí)間變化。我們將選擇K p = 1，觀察它會(huì)導(dǎo)致當(dāng)前位置穩(wěn)定在目標(biāo)附近并且穩(wěn)定時(shí)間最快。

圖5.比例增益調(diào)整。

讀者會(huì)注意到有一個(gè)殘余的穩(wěn)態(tài)誤差，即最終的當(dāng)前位置與目標(biāo)設(shè)定點(diǎn)位置有偏差。這種偏移在純比例控制器的情況下很常見，并且會(huì)在下一步調(diào)整積分增益時(shí)消除。

調(diào)整 K?i以消除穩(wěn)態(tài)誤差

Ki是積分增益?？刂坪瘮?shù)的積分項(xiàng)通過使用與隨時(shí)間累積的過去誤差量成比例的信號移動(dòng)線性致動(dòng)器來補(bǔ)償過去誤差。積分項(xiàng)用于消除穩(wěn)態(tài)誤差是有意義的，因?yàn)樵撜`差是一個(gè)常數(shù)偏移量，它會(huì)隨著時(shí)間的推移增加積分，從而使控制函數(shù)試圖將其減小到零。

在調(diào)整的第二步中，我們保持在第一步中選擇的比例增益K p = 1，將微分增益K d設(shè)置為零，并增加積分增益K i直到執(zhí)行器穩(wěn)定得更接近目標(biāo)位置 (700) ——即，直到穩(wěn)態(tài)誤差接近于零。

圖 6中的圖表顯示了對于K p = 1 的不同K i值，執(zhí)行器的當(dāng)前位置如何隨時(shí)間變化。對于一組給定的要求， Ki =?0.5的結(jié)果可能非常令人滿意，我們可能會(huì)選擇不涉及微分項(xiàng)，在這種情況下，解決方案將是比例積分 (PI) 控制器。

圖6.積分增益調(diào)整。

但是，或者，我們可能更愿意選擇K i = 2，這可能是由于其結(jié)果中顯示的上升時(shí)間有所改善。讀者會(huì)注意到，在這種情況下，更好的上升時(shí)間是以過沖為代價(jià)的。當(dāng)在下一步中調(diào)整微分增益時(shí)，將消除這種過沖。

調(diào)整 K?d以消除過沖

Kd是微分增益。控制函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)通過使用與根據(jù)誤差的時(shí)間導(dǎo)數(shù)（即其變化率）估計(jì)的未來誤差量成比例的信號移動(dòng)線性致動(dòng)器來補(bǔ)償未來（估計(jì)的）誤差。

微分項(xiàng)用于消除瞬態(tài)效應(yīng)（如超調(diào)）是有道理的，它們自然反映在時(shí)間導(dǎo)數(shù)中，從而使控制函數(shù)尋求將它們減少到零。在存在干擾的情況下提高穩(wěn)定性和縮短建立時(shí)間是額外的相關(guān)優(yōu)勢。但是請注意，如果誤差信號非常嘈雜，微分項(xiàng)會(huì)使控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。

在這第三步調(diào)整中，我們保持在前兩步中選擇的比例和積分增益K p = 1 和K i = 2，并增加微分增益K d直到消除超調(diào)。微分增益太高會(huì)引起振蕩。

圖 7中的圖表顯示了對于不同的K d值，K p = 1 和K i = 2 ，執(zhí)行器的當(dāng)前位置如何隨時(shí)間變化。我們將選擇K d = 0.05，觀察到它有效地減少了過沖，同時(shí)保持了改進(jìn)的上升時(shí)間。

圖7. 微分增益調(diào)整。

然后，在我們的控制器版本中，啟用了所有三個(gè)信號比例、積分和微分，我們已經(jīng)成功地調(diào)整了它們的增益以實(shí)現(xiàn)適當(dāng)?shù)目刂破餍袨椤Ｎ覀冞€確定增益值應(yīng)為K?p?= 1、K?i?= 2 和K?d?= 0.05。

結(jié)論

這篇關(guān)于 PID 控制的文章解釋了 PID 控制器核心的數(shù)學(xué)原理，并提供了一個(gè)實(shí)際示例，說明如何實(shí)現(xiàn)該數(shù)學(xué)原理以在微控制器上運(yùn)行。討論了用于位置控制的微控制器和直流伺服電機(jī)之間的信號性質(zhì)的實(shí)際考慮因素。

最后，提供了一些數(shù)據(jù)來演示如何手動(dòng)調(diào)整控制函數(shù)的比例、積分和微分項(xiàng)以獲得適當(dāng)?shù)男阅?。它還讓讀者了解 PID 算法中每個(gè)函數(shù)的用途。

通用現(xiàn)成的 PID 控制器不是將 PID 控制設(shè)計(jì)到定制的嵌入式設(shè)備中，而是工業(yè)市場上可用的替代品，例如，其中一些基于可編程邏輯控制器 (PLC)。這些可能會(huì)滿足許多用戶的需求。

但是，如果它需要與您的工廠流程相關(guān)的非標(biāo)準(zhǔn)功能，它可能無法滿足您的應(yīng)用需求?；蛘撸绻刑厥獾臄?shù)據(jù)通信需求，或者如果通用控制器具有您希望避免用于成本敏感型應(yīng)用的不需要的功能。在這種情況下，定制 PID 控制器設(shè)計(jì)是一種選擇。（EETOP編譯自electronicdesign）

編輯：黃飛

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