上期講了電機(jī)繞組的基波感應(yīng)電勢(shì)，接下來(lái)講電機(jī)繞組的諧波感應(yīng)電勢(shì)。在實(shí)際的交流電機(jī)中，繞組的感應(yīng)電勢(shì)波形中除了基波外，還存在著一系列高次諧波?？蛰d感應(yīng)電勢(shì)中的高次諧波主要由兩個(gè)方面的原因引起，一是主極磁場(chǎng)沿空間分布非正弦引起；二是由于定子表面開(kāi)槽引起。本期先講第一個(gè)原因引起的電勢(shì)高次諧波，即主極磁場(chǎng)非正弦分布引起的諧波電勢(shì)。

1 主極磁場(chǎng)的空間分布

在凸極同步電機(jī)中，通常主極磁場(chǎng)沿電樞表面圓周分布是一個(gè)平頂波，如圖1所示，假設(shè)定子表面光滑不開(kāi)槽，則把這個(gè)平頂波做傅立葉分解就會(huì)得到基波和一系列諧波，由于每個(gè)磁極都是相對(duì)于其中心線對(duì)稱(chēng)的，而且N極和S極又是相對(duì)于其分割線上下反向?qū)ΨQ(chēng)的，因此主極磁場(chǎng)所包含的高次諧波只有奇次諧波，即只有υ=1、3、5、7…次諧波。

說(shuō)到這兒，經(jīng)常有同學(xué)問(wèn)一個(gè)問(wèn)題，為什么只有奇次諧波？為什么沒(méi)有偶次諧波？先給這些同學(xué)們惡補(bǔ)一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)。根據(jù)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，任意一個(gè)滿足一定條件的周期函數(shù)都可以分解成一系列不同頻率的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之和，這就是傳說(shuō)中的傅立葉分解。某些特定函數(shù)的傅立葉分解具有一些特定的規(guī)律，其中奇諧函數(shù)和偶諧函數(shù)的傅立葉分解就有著鮮明的特色。先說(shuō)奇諧函數(shù)和偶諧函數(shù)的概念，注意是奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)，不是奇函數(shù)、偶函數(shù)！

所謂奇諧函數(shù)是指：若周期函數(shù)的圖像沿橫軸(自變量)平移半個(gè)周期后與原圖像相對(duì)于橫軸像對(duì)稱(chēng)，即滿足：

f(x)=-f(x+T/2) ???????????????????????????(1)

其中T為函數(shù)的周期，則稱(chēng)該函數(shù)為奇諧函數(shù)或半波對(duì)稱(chēng)函數(shù)。

所謂偶諧函數(shù)是指：若周期函數(shù)的圖像沿橫軸平移半個(gè)周期后與原函數(shù)波形完全重合，即滿足：

f(x)=f(x+T/2) ???????????????????????????(2)

則稱(chēng)該函數(shù)為偶諧函數(shù)或半周期重疊函數(shù)。

奇諧函數(shù)的傅立葉分解展開(kāi)式中只含有正弦和余弦項(xiàng)的奇次諧波分量，而不含有偶次諧波分量；偶諧函數(shù)的傅立葉分解展開(kāi)式中只含有正弦和余弦項(xiàng)的偶次諧波分量，而不含有奇次諧波分量。除了奇諧函數(shù)和偶諧函數(shù)外，還有既不是奇諧函數(shù)也不是偶諧函數(shù)的周期函數(shù)(不滿足上述奇諧函數(shù)和偶諧函數(shù)定義的周期函數(shù))，它們的傅立葉分解展開(kāi)式中則既含有正弦和余弦項(xiàng)的奇次諧波分量，也含有偶次諧波分量。

關(guān)于上述結(jié)論的證明，可以用傅立葉分解中各次諧波項(xiàng)系數(shù)的計(jì)算公式來(lái)證明，考慮到我們這里主要不是講高等數(shù)學(xué)的地方，就不詳細(xì)推導(dǎo)證明了，這里只給大家通俗地講一下其中的道理，以便大家理解。從圖1中的奇次諧波(1,3,5,7…次諧波)的波形不難看出，所有奇次諧波的波形沿橫軸平移半個(gè)周期后都與原波形相對(duì)橫軸像對(duì)稱(chēng)，即奇次諧波函數(shù)都是奇諧函數(shù)；同理，你可以自己畫(huà)一下偶次諧波函數(shù)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)偶次諧波都是偶諧函數(shù)。如果只有奇諧函數(shù)相加，得到的和也必然是奇諧函數(shù)；只有偶諧函數(shù)相加，得到的和則必然是偶諧函數(shù)。如果奇諧函數(shù)和偶諧函數(shù)混合相加得到的和，必然就既不是奇諧函數(shù)也不是偶諧函數(shù)。因此奇諧函數(shù)的傅立葉分解必然只包括奇次諧波；偶諧函數(shù)的傅立葉分解則只包括偶次諧波。對(duì)于電機(jī)中的主極磁場(chǎng)分布，由于N、S極分布對(duì)稱(chēng)，且磁場(chǎng)方向相反，顯然屬于奇諧函數(shù)，因此主極磁場(chǎng)里只包括奇次諧波。如果每個(gè)磁極又是相對(duì)于自己的磁極中心線左右對(duì)稱(chēng)，那么所含有的奇次諧波的初相角也都是一樣的，即各次諧波的波形都是從基波的初相角位置開(kāi)始，如圖1所示。

惡補(bǔ)完數(shù)學(xué)知識(shí)，我們接著講主極磁場(chǎng)的高次諧波。如前所述，主極磁場(chǎng)包含著一系列空間奇次諧波，當(dāng)主極旋轉(zhuǎn)時(shí)，主極磁場(chǎng)的基波和這一系列奇次諧波都隨主極一起旋轉(zhuǎn)，因此所有諧波磁場(chǎng)的轉(zhuǎn)速都與基波磁場(chǎng)轉(zhuǎn)速相同，都等于同步轉(zhuǎn)速n1。由圖1可見(jiàn)，υ次諧波磁場(chǎng)的極對(duì)數(shù)為基波的υ倍，而極距則為基波的1/υ，即高次諧波磁場(chǎng)具有以下特點(diǎn)：

nυ=n1

pυ=υ?p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(3)

τυ=τ/υ

2 繞組中感應(yīng)電勢(shì)的高次諧波

和基波一樣，上述主極磁場(chǎng)的空間高次諧波以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時(shí)，同樣會(huì)在定子繞組中感應(yīng)出頻率為fυ的諧波電勢(shì)，特別要注意！感應(yīng)電勢(shì)的諧波是時(shí)間諧波?。?！諧波電勢(shì)的計(jì)算方法與基波類(lèi)似。電勢(shì)高次諧波的頻率：

fυ=pυ?n1/60=υ?p?n1/60=υ?f1?(4)

諧波電勢(shì)的有效值也參照那個(gè)著名的4.44公式計(jì)算，即：

Eφυ=4.44?fυ?Kdpυ?W?Φυ? ? ? ?(5)

式中：Φυ為υ次諧波的磁通。

Φυ=(2/π)?Bυ?τυ?l ????????????????????(6)

Kdpυ為υ次諧波的繞組系數(shù)。

對(duì)于υ次諧波，分布線圈之間相距的空間電角度為υ?α，它們所感應(yīng)的電勢(shì)在時(shí)間上也相差υ?α電角度；而短距線圈的兩個(gè)線圈邊對(duì)基波的距離是Y1，對(duì)υ次諧波的距離則是υ?Y1，所以分別用υ?α和υ?Y1代替基波短距系數(shù)和分布系數(shù)公式中的α和Y1，即可得到υ次諧波的短距系數(shù)和分布系數(shù)，即：

Kdpυ=Kdυ?Kpυ

Kpυ=sin[υ?(Y1/τ)?90o] ???????????????(7)

Kdυ=[sin(υ?q?α/2)]/[q?sin(υ?α/2)]

3 定子開(kāi)槽對(duì)感應(yīng)電勢(shì)的影響

上述分析是在假設(shè)定子表面光滑不開(kāi)槽的情況下推導(dǎo)出的結(jié)論，實(shí)際電機(jī)中定子繞組通常是嵌放在定子槽里的，由于定子槽口的影響，使得單位面積下的氣隙磁導(dǎo)變得不均勻，對(duì)應(yīng)于齒的位置氣隙較小，單位面積下磁導(dǎo)較大；對(duì)應(yīng)于槽的位置氣隙較大，單位面積下磁導(dǎo)較小。正是這種齒槽引起的氣隙磁導(dǎo)周期變化，使得原來(lái)的磁密分布發(fā)生了畸變，如圖2所示。圖2a為呈正弦分布的旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)，圖2b為開(kāi)槽后由于齒槽的“調(diào)制”作用，使得氣隙磁場(chǎng)發(fā)生了畸變，其磁密波變成一個(gè)在正弦基波基礎(chǔ)上疊加了一個(gè)齒磁導(dǎo)諧波磁場(chǎng)。這種畸變后的磁場(chǎng)會(huì)對(duì)在繞組中的感應(yīng)電勢(shì)產(chǎn)生什么影響呢？

關(guān)于定子開(kāi)槽對(duì)繞組感應(yīng)電勢(shì)的影響分析起來(lái)非常復(fù)雜，特別是定量計(jì)算會(huì)涉及到繁雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，我知道一提數(shù)學(xué)許多同學(xué)們頭就大，不要緊，我們先說(shuō)出定子開(kāi)槽對(duì)感應(yīng)電勢(shì)影響的結(jié)論，關(guān)于后面的數(shù)學(xué)推導(dǎo)、證明之類(lèi)的內(nèi)容，有興趣的你就認(rèn)真看，嫌頭大的你可以忽略后面的推導(dǎo)證明部分，重要的是你要記住以下結(jié)論！

重要結(jié)論！??！定子開(kāi)槽對(duì)感應(yīng)電勢(shì)的影響就是“種瓜得瓜種豆得豆”！定子開(kāi)槽雖然使氣隙磁場(chǎng)波形發(fā)生了畸變，但它對(duì)繞組中感應(yīng)電勢(shì)的影響，只是影響基波和諧波感應(yīng)電勢(shì)的幅值大小，不影響諧波的頻率(次數(shù))！也就是說(shuō)，無(wú)論開(kāi)槽與否，繞組中電勢(shì)的諧波次數(shù)與氣隙磁勢(shì)中的諧波次數(shù)都是一一對(duì)應(yīng)的。在原來(lái)不開(kāi)槽的情況下，氣隙磁勢(shì)中存在什么次數(shù)的諧波磁場(chǎng)，繞組中就會(huì)產(chǎn)生什么次數(shù)的諧波電勢(shì)；氣隙磁勢(shì)中不存在的諧波，繞組中也不會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)次數(shù)的諧波電勢(shì)。開(kāi)槽后，同樣是不開(kāi)槽時(shí)有什么次數(shù)的諧波磁勢(shì)，開(kāi)槽后仍然只產(chǎn)生什么次數(shù)的諧波電勢(shì)；不開(kāi)槽時(shí)沒(méi)有的磁勢(shì)諧波次數(shù)，開(kāi)槽后照樣沒(méi)有該次諧波電勢(shì)。因此磁勢(shì)的諧波就像是一種“遺傳基因”，不會(huì)因?yàn)槎ㄗ娱_(kāi)槽而改變這種“遺傳基因”，使感應(yīng)到繞組電勢(shì)中的諧波次數(shù)增加或減少，定子開(kāi)槽只是影響諧波的大小，不會(huì)影響諧波的次數(shù)。因此我們把這個(gè)結(jié)論形象地稱(chēng)作“種瓜得瓜種豆得豆”！

接下來(lái)我們就證明一下這個(gè)結(jié)論，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好或不愿意就此深入探討的同學(xué)們可以跳過(guò)這一段，只記住上述結(jié)論即可。

我們知道，氣隙磁場(chǎng)是勵(lì)磁磁勢(shì)作用在氣隙磁導(dǎo)上的結(jié)果。在同步電機(jī)中，轉(zhuǎn)子勵(lì)磁電流產(chǎn)生的磁勢(shì)波，可分解為一個(gè)極對(duì)數(shù)為p的基波和一系列高次諧波。所有這些諧波磁勢(shì)都同時(shí)隨轉(zhuǎn)子以同步電機(jī)轉(zhuǎn)速n1旋轉(zhuǎn)。對(duì)于任一旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)波產(chǎn)生的磁場(chǎng)：

Bυ=fυ?λδ ???????????????????????????????(8)

式中：fυ為υ次磁勢(shì)波，其轉(zhuǎn)速為n1，則：

fυ=Fυ?sin(υ?ωt-υpα) ???????????(9)

式⑻中：λδ為單位面積下的氣隙磁導(dǎo)。由于定子槽均勻分布于整個(gè)氣隙圓周，因此開(kāi)槽后單位面積下的氣隙磁導(dǎo)沿氣隙圓周呈周期波動(dòng)，這個(gè)周期變化的磁導(dǎo)波可以分解為原先不開(kāi)槽時(shí)的氣隙磁導(dǎo)λ0和一系列與定子齒槽對(duì)應(yīng)高次磁導(dǎo)諧波，如圖3所示。

單位面積下氣隙磁導(dǎo)表達(dá)式可寫(xiě)成如下形式：

λδ=λ0+λ1?cos(Z?α)+λ2?cos(2Z?α)+λ3?cos(3Z?α)+…=λ0+∑λk?cos(k?Z?α) (10)

式中：k=1、2、3…

將⑼、⑽兩式代入⑻式，得：

Bυ=fυ?λδ=Fυ?sin(υωt-υpα)?[λ0+∑λk?cos(k?Z?α)]

=Bυ0?sin(υωt-υpα)+∑Bυk?sin[υωt-(k?Z+υ?p)α)]+∑Bυk?sin[υωt+(k?Z-υ?p)α)] (11)

式中：

Bυ0=Fυ?λ0 ?????????????????????????? ?(12)

Bυk=(1/2)?Fυ?λk ?????????????????(13)

由(11)式可見(jiàn)，任意一個(gè)υ次諧波磁勢(shì)都會(huì)在氣隙中產(chǎn)生三種諧波磁場(chǎng)：

①基本諧波磁場(chǎng)

其表達(dá)式為(11)式中的第一項(xiàng)，是一個(gè)極對(duì)數(shù)和轉(zhuǎn)速與產(chǎn)生它的諧波磁勢(shì)一樣的磁場(chǎng)，該磁場(chǎng)在定子繞組中感應(yīng)出的電勢(shì)頻率為υ?p?n1/60=υf1。

②極對(duì)數(shù)為k?Z+υ?p的齒磁導(dǎo)波磁場(chǎng)

其表達(dá)式為(11)式中的第二項(xiàng)的和式，是一系列順轉(zhuǎn)(與基本諧波磁場(chǎng)同轉(zhuǎn)向)的諧波旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，其極對(duì)數(shù)為k?Z+υ?p，即諧波次數(shù)為k?Z/p+υ，轉(zhuǎn)速為n1?υ?p/(k?Z+υ?p)，該磁場(chǎng)在定子繞組中感應(yīng)出的電勢(shì)頻率為{υ?p?n1/[60?(k?Z+υ?p)]}?(k?Z+υ?p)=υ?f1。

③極對(duì)數(shù)為k?Z-υ?p的齒磁導(dǎo)波磁場(chǎng)

其表達(dá)式為(11)式中的第三項(xiàng)的和式，是一系列旋轉(zhuǎn)諧波磁場(chǎng)，其極對(duì)數(shù)為k?Z-υ?p，即諧波次數(shù)為k?Z/p-υ，轉(zhuǎn)速為n1?υ?p/(k?Z-υ?p)，其轉(zhuǎn)向?yàn)椋寒?dāng)k?Z＞υ?p時(shí)為反轉(zhuǎn)；當(dāng)k?Z＜υ?p時(shí)為順轉(zhuǎn)。該磁場(chǎng)在定子繞組中感應(yīng)出的電勢(shì)頻率為{υ?p?n1/[60?(k?Z-υ?p)]}?(k?Z-υ?p)=υ?f1。

以上分析表明，υ次諧波磁勢(shì)所產(chǎn)生的所有諧波磁場(chǎng)，雖然受齒磁導(dǎo)波調(diào)制而表現(xiàn)出的極對(duì)數(shù)各不相同，轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向也各式各樣，但卻都在定子繞組中感應(yīng)出相同頻率υ?f1的諧波電勢(shì)。這說(shuō)明電勢(shì)中的諧波和磁勢(shì)中的諧波是一一對(duì)應(yīng)的，υ次諧波磁勢(shì)只產(chǎn)生υ次諧波電勢(shì)。磁勢(shì)中存在什么諧波，電勢(shì)中就隨之產(chǎn)生同樣次數(shù)的諧波，磁勢(shì)中沒(méi)有的諧波，電勢(shì)中是不會(huì)出現(xiàn)的。大家在仿真時(shí)經(jīng)常會(huì)看到氣隙磁密的波形非常難看，存在許多豁豁牙牙的齒諧波，但反電勢(shì)波形卻很漂亮，那些豁豁牙牙的諧波都不見(jiàn)了，反電勢(shì)波形很正弦，其道理就在于此，以后同學(xué)們遇到這種情況不必糾結(jié)，氣隙磁密波形“難看”，不一定意味著反電勢(shì)波形不好。綜上所述，我們就從理論上證明了“種瓜得瓜種豆得豆”的結(jié)論。

上述推導(dǎo)當(dāng)υ=1時(shí)，便得到基波磁勢(shì)在氣隙中產(chǎn)生的磁場(chǎng)：除基波磁場(chǎng)外，還包括一系列齒磁導(dǎo)諧波磁場(chǎng)，它們的極對(duì)數(shù)為k?Z±p，次數(shù)為k?Z/p±1，轉(zhuǎn)速為n1?p/(k?Z±p)，定子繞組中感應(yīng)出的電勢(shì)頻率為{p?n1/[60?(k?Z±p)]}?(k?Z±p)=f1，即基波磁勢(shì)只感應(yīng)出基波電勢(shì)。這就意味著，只要?jiǎng)?lì)磁磁勢(shì)正弦，則定子開(kāi)槽是不會(huì)引起反電勢(shì)的高次諧波，這也給我們?cè)陔姶旁O(shè)計(jì)時(shí)提供了一個(gè)理論指導(dǎo)，那就是：優(yōu)化反電勢(shì)的波形為正弦的一個(gè)重要途徑，是優(yōu)化勵(lì)磁磁勢(shì)的波形，只要在定子不開(kāi)槽時(shí)氣隙磁場(chǎng)波形正弦，那么無(wú)論定子開(kāi)槽與否，反電勢(shì)波形都會(huì)是正弦的。具體的優(yōu)化措施包括：極靴形狀、勵(lì)磁繞組分布、磁鋼的形狀及充磁方法等等。

如前所述，定子開(kāi)槽只是影響電勢(shì)各次諧波的幅值，而不影響電勢(shì)諧波的次數(shù)。那么定子開(kāi)槽對(duì)電勢(shì)各次諧波幅值的影響如何計(jì)算呢？也就是說(shuō)定子開(kāi)槽后各次諧波電勢(shì)幅值該如何計(jì)算呢？可以用前面講的⑸、⑹式來(lái)計(jì)算，但⑸、⑹式中其它各參數(shù)均可以很容易地得到，唯有各次Bυ的計(jì)算比較復(fù)雜，可以用(12)、(13)式計(jì)算，但問(wèn)題又來(lái)了，(12)、(13)式中的Fυ與開(kāi)槽無(wú)關(guān)，開(kāi)槽只是影響了各次齒磁導(dǎo)λ0和λk，因此開(kāi)槽后對(duì)各次諧波電勢(shì)幅值的影響，其實(shí)就是開(kāi)槽對(duì)各次齒磁導(dǎo)諧波產(chǎn)生了影響，進(jìn)而影響了諧波電勢(shì)的幅值，開(kāi)槽后各次諧波電勢(shì)的計(jì)算，歸根結(jié)底是開(kāi)槽后各次齒磁導(dǎo)諧波(λ0、λ1、λ2、λ3…)的計(jì)算。關(guān)于各次齒磁導(dǎo)諧波的計(jì)算，解析法通常用一些經(jīng)驗(yàn)公式和經(jīng)驗(yàn)曲線來(lái)近似等效計(jì)算，比如：對(duì)于氣隙平均磁導(dǎo)λ0的影響，通常是在不開(kāi)槽時(shí)的氣隙長(zhǎng)度δ基礎(chǔ)上乘以一個(gè)大于1的卡氏系數(shù)Kδ，即用Kδ?δ作為開(kāi)槽后的等效氣隙長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算開(kāi)槽后的平均磁導(dǎo)λ0，卡氏系數(shù)的大小與槽口、氣隙尺寸等因素有關(guān)，可以用一些經(jīng)驗(yàn)公式和經(jīng)驗(yàn)曲線獲得，也就是說(shuō)，開(kāi)槽對(duì)氣隙平均磁導(dǎo)的影響，可以看作是開(kāi)槽導(dǎo)致了氣隙長(zhǎng)度的增加效應(yīng)來(lái)近似等效。其它各次齒磁導(dǎo)諧波也有各自不同的近似等效方法。雖然解析法可以用一些經(jīng)驗(yàn)公式和經(jīng)驗(yàn)曲線來(lái)近似等效計(jì)算各次齒磁導(dǎo)諧波，但計(jì)算起來(lái)仍然非常復(fù)雜，而且由于計(jì)算過(guò)程中采用了大量的假設(shè)和經(jīng)驗(yàn)公式和經(jīng)驗(yàn)曲線，使得計(jì)算精度受到一定的影響，在計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算不太發(fā)達(dá)的過(guò)去，只能采用這些方法計(jì)算各次齒磁導(dǎo)諧波和各次電勢(shì)諧波。隨著計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算的廣泛普及，各種專(zhuān)業(yè)的有限元仿真軟件功能已非常強(qiáng)大，因此本文就不再詳細(xì)介紹電勢(shì)諧波的解析計(jì)算方法了，建議實(shí)踐中采用先進(jìn)的有限元仿真計(jì)算方法計(jì)算反電勢(shì)的各次諧波。

綜上所述，空載感應(yīng)電勢(shì)中的高次諧波主要由兩個(gè)方面的原因引起，一是主極磁場(chǎng)沿空間分布非正弦；二是定子開(kāi)槽影響。

編輯：黃飛

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