上式求極大值可以利用拉格朗日乘數(shù)法，不過需要限定一下分母的值，否則分子分母都變，怎么確定最好的w呢?？梢粤?p align="center">

其中w是矩陣，所以求導(dǎo)時(shí)可以把

上式兩邊同乘以

可以發(fā)現(xiàn)w其實(shí)就是矩陣

通過上式求解w還是有些困難的，而且w會(huì)有多個(gè)解，考慮下式：

將其帶入下式：

其中λw是以w為變量的數(shù)值，因?yàn)?u1-u2)^T和w是相同維數(shù)的，前者是行向量后者列向量。繼續(xù)帶入以前的公式：

由于w擴(kuò)大縮小任何倍不影響結(jié)果，所以可以約去兩遍的未知常數(shù)λ和λw（存疑）：

到這里，w就能夠比較簡(jiǎn)單的求解了。

2、數(shù)據(jù)集是多類的情況

這部分是本博文的核心。假設(shè)有C個(gè)人的人臉圖像，每個(gè)人可以有多張圖像，所以按人來分，可以將圖像分為C類，這節(jié)就是要解決如何判別這C個(gè)類的問題。判別之前需要先處理下圖像，將每張圖像按照逐行逐列的形式獲取像素組成一個(gè)向量，和第一節(jié)類似設(shè)該向量為x，設(shè)向量維數(shù)為n，設(shè)x為列向量（n行1列）。

和第一節(jié)簡(jiǎn)單的二維數(shù)據(jù)分類不同，這里的n有可能成千上萬，比如100x100的圖像得到的向量為10000維，所以第一節(jié)里將x投影到一個(gè)向量的方法可能不適用了，比如下圖：

圖（2）

平面內(nèi)找不到一個(gè)合適的向量，能夠?qū)⑺械臄?shù)據(jù)投影到這個(gè)向量而且不同類間合理的分開。所以我們需要增加投影向量w的個(gè)數(shù)（當(dāng)然每個(gè)向量維數(shù)和數(shù)據(jù)是相同的，不然怎么投影呢），設(shè)w為：

w1、w2等是n維的列向量，所以w是個(gè)n行k列的矩陣，這里的k其實(shí)可以按照需要隨意選取，只要能合理表征原數(shù)據(jù)就好。x在w上的投影可以表示為：

所以這里的y是k維的列向量。

像上一節(jié)一樣，我們將從投影后的類間散列度和類內(nèi)散列度來考慮最優(yōu)的w，考慮圖（2）中二維數(shù)據(jù)分為三個(gè)類別的情況。與第一節(jié)類似，μi依然代表類別i的中心，而Sw定義如下：

其中：

代表類別i的類內(nèi)散列度，它是一個(gè)nxn的矩陣。

所有x的中心μ定義為：

類間散列度定義和上一節(jié)有較大不同：

代表的是每個(gè)類別到μ距離的加和，注意Ni代表類別i內(nèi)x的個(gè)數(shù)，也就是某個(gè)人的人臉圖像個(gè)數(shù)。

上面的討論都是投影之間的各種數(shù)據(jù)，而J(w)的計(jì)算實(shí)際是依靠投影之后數(shù)據(jù)分布的，所以有：

分別代表投影后的類別i的中心，所有數(shù)據(jù)的中心，類內(nèi)散列矩陣，類間散列矩陣。與上節(jié)類似J(w)可以定義為：