前幾天和同事聊天，他說他上初中的兒子做出了一道很難的數(shù)學題，想考考我們這些大學生看能不能做得出來？

題目很簡單：

大家先嘗試做一下？我沒想出怎么算的，只是用排除法確定了a和b的范圍，然后再逐個嘗試。

1.對4361進行開方計算，得到結(jié)果最大為66，則a，b的值均小于等于66。

2.對4361/2進行開方計算，則得到結(jié)果為46，則a,b兩者，一個是1-46，一個是46-66之間的數(shù)。

3.由平方和4361末尾為1，再根據(jù)整數(shù)平方和的幾種可能，計算出僅有0+1和5+6這兩種可能，而且平方之后的個位數(shù)為0/1/5/6，這樣就進一步縮小了范圍，通過多次計算嘗試可以得出結(jié)果。

不過我懶得算了，就簡單寫了個C語言程序，計算出了結(jié)果：

#include? #include? #include? int?main(void) {
????int?num;?????
????int?a,?b,?n;
????int?result;
????int?sqr;

????printf("please?enter?a?number:");//4361 ????scanf("%d",?&num);
????printf("input?num:?%d\n",?num);

????sqr?=?sqrt(num);
????for(a?=?1;?a?<=?sqr;?a++)????????//可以設置1-46 ????{
????????for(b?=?1;?b?<=?sqr;?b++)????//可以設置46-66 ????????{
????????????result?=?pow(a,?2)?+?pow(b,?2);
????????????if(result?==?num)
????????????{
????????????????printf("a?=?%2d,?b?=?%2d,?a?+?b?=?%d\n",?a,?b,?a+b);
????????????????n++;
????????????}
????????}
????}
????if(n?==?0)
????????printf("There?is?no?answer!\n");

????return?0;
}

其實可以設置一個數(shù)的循環(huán)范圍是：1-46，一個數(shù)的循環(huán)范圍是46-66，這樣會減少循環(huán)次數(shù)。

運行結(jié)果：

而且這種方式還適用于解的個數(shù)不唯一的情況，比如7605：

作為一個野生FPGA開發(fā)者，我在想能不能用FPGA的編程思想來實現(xiàn)呢？也就是如何用Verilog來實現(xiàn)兩個循環(huán)的嵌套呢？抄起鍵盤就是干！

verilog源文件fpga_math.v：

module?fpga_math(
????//inputs ????input?clk,
????input?rst_n,

????//outputs ????output?reg?[13:0]?a,?b,
????output?reg?[14:0]?result,
????output?ok
);

parameter?SUM?=?4361;
parameter?SQR?=?67;???????//sqrt(SUM); reg?[13:0]?tmp_a;
reg?[13:0]?tmp_b;
reg?flag;

assign?ok?=?(tmp_a*tmp_a?+?tmp_b*tmp_b?==?SUM);

always?@?(posedge?clk) begin
????if(!rst_n) ????????tmp_b?<=?0;
????else?if(tmp_b?==?SQR)
????????tmp_b?<=?0;
????else?if(tmp_a?!=?SQR)
????????tmp_b?<=?tmp_b?+?1;
end

always?@?(posedge?clk) begin
????if(!rst_n) ????????flag?<=?0;
????else?if(tmp_b?==?SQR)
????????flag?<=?1;
????else?
????????flag?<=?0;
end

always?@?(posedge?clk) begin
????if(!rst_n) ????????tmp_a?<=?0;
????else?if((tmp_a?!=?SQR)?&?flag)
????????tmp_a?<=?tmp_a?+?1;
end

always?@?(posedge?clk) begin
????if(!rst_n) ????begin
????????a?<=?0;
????????b?<=?0;
????????result?<=?0;
????end
????else?if(ok) ????begin
????????a?<=?tmp_a;
????????b?<=?tmp_b;
????????result?=?tmp_a?+?tmp_b;
????end
end

endmodule

為了驗證這個模塊的正確性，我們需要對這個模塊進行仿真，即給一個激勵輸入信號，看輸出是否正確。

新建testbench文件fpga_math_tb.v：

`timescale?1ns/100ps module?fpga_math_tb;

parameter?SUM?=?4361;
parameter?SQR?=?67;?????//sqrt(4361) parameter?SYSCLK_PERIOD?=?10;//?100MHZ wire?[13:0]?a,?b;
wire?[14:0]?result;

reg?SYSCLK;
reg?NSYSRESET;

initial
begin
????SYSCLK?=?1'b0;
????NSYSRESET?=?1'b0;

????#(SYSCLK_PERIOD?*?10?)
????????NSYSRESET?=?1'b1;
????#(SYSCLK_PERIOD?*?(SQR*SQR+500)?)
????????$stop;
end /*generate?clock*/ always?@(SYSCLK)
????#(SYSCLK_PERIOD?/?2.0)?SYSCLK?<=?!SYSCLK;??????? /*instance?module*/ fpga_math?#(
????.SUM(SUM),
????.SQR(SQR)
)fpga_math_0(
????//inputs ????.clk(SYSCLK),
????.rst_n(NSYSRESET),

????//outputs ????.a(a),
????.b(b),
????.result(result),
????.ok(ok)
);

endmodule

ModelSim仿真波形：

仿真工具除了使用各大FPGA廠商IDE帶的ModelSim等，也可以使用小巧開源的全平臺仿真工具：iverilog+gtkwave，使用方法可以參考：

如果使用iverilog進行仿真，需要在TB文件中添加以下幾行語句：

/*iverilog?*/
initial
begin????????????
????$dumpfile("wave.vcd");????????//生成的vcd文件名稱
????$dumpvars(0,?fpga_math_tb);???//tb模塊名稱
end
/*iverilog?*

首先對Verilog源文件進行編譯，檢查是否有語法錯誤，這會在當前目錄生成wave目標文件：

iverilog?-o?wave?*.v

然后通過vvp指令，產(chǎn)生仿真的wave.vcd波形文件：

vvp?-n?wave?-lxt2

使用gtkwave打開波形文件：

gtkwave?wave.vcd

當然以上命令也可以寫成批處理文件：

echo?"開始編譯" iverilog?-o?wave?*.v echo?"編譯完成" echo?"生成波形文件" vvp?-n?wave?-lxt2 echo?"打開波形文件" gtkwave?wave.vcd

以文本方式存儲為build.bat文件即可，雙擊即可自動完成編譯、生成波形文件、打開波形文件操作。

仿真波形：

可以看出，和使用ModelSim仿真是一樣的結(jié)果。

總結(jié)

從仿真波形圖中，可以得到計算的結(jié)果，a+b的值為91，如果要在真實的FPGA芯片硬件上實現(xiàn)，還需要添加其他功能模塊，把結(jié)果通過串口輸出，或者在數(shù)碼管等顯示屏上進行顯示，這里只是簡單介紹使用FPGA計算方法的實現(xiàn)。作為純數(shù)字電路的FPGA，實現(xiàn)平方根是比較復雜的，這里采用直接人為輸入平方根結(jié)果的方式，而不是像C語言那樣調(diào)用sqrt函數(shù)自動計算平方根。FPGA中不僅有觸發(fā)器和查找表，而且還有乘法器、除法器等硬核IP，所以在涉及到乘除法、平方根運算時，不要直接使用*/等運算符，而是要使用FPGA自帶的IP核，這樣就不會占用大量的邏輯資源，像Xilinx的基于Cordic算法的Cordic IP核，不僅能實現(xiàn)平方根計算，而且還有sin/cos/tan/arctan等三角函數(shù)。