最初，功能分析是對功能的研究。它現(xiàn)在被認(rèn)為是一個(gè)統(tǒng)一的主題，概括了許多線性代數(shù)和實(shí)/復(fù)分析，強(qiáng)調(diào)無限維空間。這本書從這些基本的準(zhǔn)備工作中介紹了這個(gè)龐大的主題，并將抽象理論及其應(yīng)用發(fā)展為三個(gè)部分：（i）度量空間，（ii）Banach和Hilbert空間，以及（iii）Banach代數(shù)。尤其是在千禧年之交的數(shù)字革命中，希爾伯特空間和最小二乘近似已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育的必要和基本課題，不僅對數(shù)學(xué)家，而且對工程師、物理學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家也很有興趣。在信號處理、數(shù)據(jù)分析、回歸、量子力學(xué)等方面，Banach空間，特別是l1和l？方法，在應(yīng)用中得到了廣泛的應(yīng)用，并在許多優(yōu)化問題上補(bǔ)充甚至取代了經(jīng)典的最小二乘法。

　　這本書的主要目的是為讀者提供一本入門教材，從初等線性代數(shù)和實(shí)際分析開始，并充分發(fā)展理論，以了解各種應(yīng)用，包括最小二乘近似等，都是單一框架的一部分。工作。一本教科書必須在嚴(yán)謹(jǐn)和理解之間取得平衡：不是因?yàn)槭÷粤恕袄щy”的證明而顯得過于簡單，而是因?yàn)閷ζ胀ㄗx者使用了過于嚴(yán)格的語言，并將定理視為通往其他定理的墊腳石而顯得既不太先進(jìn)。盡管這方面的書籍很多，但在本科生和研究生的課本之間，在學(xué)習(xí)困難上仍然存在著明顯的差距。這本書的目的是在中間：它涵蓋了許多材料，有許多不同難度的練習(xí)，但重點(diǎn)是讓學(xué)生清楚地記住使用直觀語言的理論。例如，實(shí)分析是從度量空間（包括實(shí)數(shù)空間的構(gòu)造）的更廣泛的圖景中重新展開的，而不是通過更抽象的拓?fù)淇臻g。

　　本書面向?qū)?shù)學(xué)分析及其應(yīng)用感興趣的本科生，或希望對基本數(shù)學(xué)概念和技術(shù)采用更嚴(yán)格方法的研究工程師/統(tǒng)計(jì)學(xué)家。它也可以作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有中心地位的學(xué)科的參考或自學(xué)，為進(jìn)一步研究開辟了許多途徑?；疽笾饕菙?shù)學(xué)的導(dǎo)論主題：集合與邏輯符號、向量空間和實(shí)分析（微積分），除此之外，參加傅立葉級數(shù)、勒貝格積分和D復(fù)雜分析。本書對向量空間和可測量集進(jìn)行了回顧，而其他兩個(gè)提到的主題僅在需要的范圍內(nèi)發(fā)展。涉及函數(shù)分析的許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有例子。對于讀者來說，在適當(dāng)?shù)牡胤接龅竭@些其他的主題是很有幫助的，但這并不重要。其目的是從功能分析的角度進(jìn)行連接和描述。借助于互聯(lián)網(wǎng)上的現(xiàn)代搜索工具，任何有興趣跟蹤某個(gè)特定主題的人都可以輕松地進(jìn)行搜索。各部分以線性方式相互銜接，三個(gè)部分組成三個(gè)一學(xué)期的課程，盡管第二部分的長度是其他部分的兩倍。以下章節(jié)可以省略，但對后續(xù)主題沒有太大影響：