抽樣定理是模擬信號數(shù)字化傳輸?shù)睦碚摶A(chǔ)，是通信原理中最經(jīng)典和最重要的定理。所謂的信號抽樣就是利用抽樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號xa(t)"抽取"一系列的離散值，這種信號通常稱為"抽樣信號"，本文以x(t)表示，顯然其數(shù)學(xué)模型可以簡化為脈沖序列與原連續(xù)信號的乘積形式。

1 時域抽樣定理及其討論

令連續(xù)信號xa(t)的傅里葉變換為xa(jω)，抽樣脈沖序列p(t)傅里葉變換為p(jω)，抽樣后的信號x(t)的傅里葉變換為x(jω)。若采用均勻抽樣，抽樣周期為ts,抽樣頻率為ωs=2πf，由前面分析可知：抽樣的過程可以通過抽樣脈沖序列p(t)與連續(xù)信號xa(t)相乘來完成，即滿足：

式(6)其表明：信號在時域被抽樣后，他的頻譜x(jω)是連續(xù)信號頻譜xa(jω)的形狀以抽樣頻率ωs為間隔周期重復(fù)而得到，在重復(fù)過程中幅度被p(t)的傅里葉級數(shù)pn加權(quán)。因為pn只是n的函數(shù)，所以xa(jω)在重復(fù)的過程中不會使其形狀發(fā)生變化。

假定信號xa(t)的頻譜限制在一ωm～+ωm的范圍內(nèi)，若以間隔ts對xa(t)進行抽樣，由式(6)可知抽樣信號x(t)的頻譜x(jω)是以ωs為周期重復(fù)。顯然，若在抽樣的過程中ωs<2ωm，則x(jω)將發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象，只有在抽樣的過程中滿足ωs≥2ωm條件，x(jω)才不會產(chǎn)生頻譜的混疊，接收端完全可以由x(t)恢復(fù)原連續(xù)信號xa(t)，這就是低通信號抽樣定理的核心內(nèi)容。

2 信號的重建

從頻域看，設(shè)信號最高頻率不超過折疊頻率：

式(10)表明只要滿足取樣頻率高于兩倍信號最高頻率，連續(xù)時間函數(shù)xa(t)就可用他的取樣值xa(nt)來表達而不損失任何信息。這時只要把每一個取樣瞬時值與式(9)相乘求和即可得出xa(t)，在每一取樣點上，由于只有該取樣值所對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)式(9)不為零，所以各個取樣點上的信號值不變，而取樣點之間的信號由式(10)構(gòu)成。

3 低通信號抽樣定理在systemview上的仿真

前面分析表明要傳輸模擬信號不一定傳輸模擬信號本身，只需傳輸按抽樣定理得到的抽樣值即可。圖1所示是低通信號采樣與重建的原理圖。

由原理圖建立對應(yīng)的systemview仿真電路如圖1所示，圖中被采樣的模擬信號源是幅度為1 v，頻率為100 hz的正弦波，抽樣脈沖為脈寬為1μs矩形脈沖。樣器用乘法器替代。為驗證信號抽樣與恢復(fù)不失真的條件，分別選取了10ohz，200hz，1000 hz等不同的抽樣頻率，對原輸入信號波形與抽樣恢復(fù)后的波形進行觀察和分析，從而直觀地驗證低通信號抽樣定理。

圖2中圖符1o為正弦信號源。圖符1和4為基帶多相低通濾波器，對待傳輸?shù)男盘栠M行濾波，以減少實際發(fā)射占用的帶寬，在論文中設(shè)置其參數(shù)為3階、截止頻率為100 hz的巴特沃斯低通iir濾波器。圖符8和9是倍數(shù)為1的增益，對輸入信號進行放大。圖符2為乘法器。圖符3為抽樣脈沖，產(chǎn)生具有特定的幅度和頻率的周期性脈沖串。通過改變圖符3中頻率參數(shù)，即相當于改變采樣頻率fs。fs分別設(shè)置為100，200，1000 hz得到仿真結(jié)果如圖3～圖6所示。

通過仿真結(jié)果的對照，表明采樣頻率為1000hz 時抽樣信號恢復(fù)的效果最好，基本能得到與原信號相同的波形。由此直觀地證明了抽樣定理的正確性：抽樣信號在fs≥2fm的條件下可以重建原信號；抽樣信號頻率越高重建效果越好；由于抽樣信號的頻譜是原信號頻譜的周期性的延拓。所以，只要通過一個截止頻率為fc(fm≤fc≤fs-fm)的低通濾波器就能恢復(fù)出原信號。

4 結(jié) 語

本文對抽樣定理進行了詳細的理論推導(dǎo)，得到了低通信號的采樣與信號恢復(fù)的條件。理論推導(dǎo)表明實際抽樣中所得信號頻譜與理想取樣的頻譜結(jié)構(gòu)十分相似，只是幅度變化規(guī)律不一樣，只要滿足抽樣定理從抽樣信號都能正確恢復(fù)原始連續(xù)信號，運用systemview軟件建立信號的采樣與重建的動態(tài)仿真模型，采用逐步提高采樣頻率的方法，從而得到一系列的仿真結(jié)果，直觀地驗證了低通信號的抽樣定理的正確性。