1、小波閾值去噪的改進

傳統(tǒng)的小波閾值圖像去噪方法可以去除圖像的部分噪聲，有較好的效果，但是由于閾值函數(shù)和閾值選取方式自身存在的問題，設置的閾值并不能完全去除圖像噪聲，還會由于閾值函數(shù)的問題而使去噪后的圖像視覺效果不佳，這就需要對目前的閾值函數(shù)和閾值選取方式進行改進，得到可以更好地去除圖像噪聲的小波閾值去噪方法。

1.1、閾值函數(shù)的改進

前面提到的兩種閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)雖然能夠去除圖像的得到了較廣泛的應用，但是由于自身存在缺點，還是會影響圖像去噪的效果。硬閾值函數(shù)的缺點是在閾值點不連續(xù);軟閾值函數(shù)的缺點是原系數(shù)和小波分解系數(shù)存著恒定的偏差。這兩種閾值函數(shù)不能完全地展示出分解后小波系數(shù)的能量分布，這就限制了它的進一步應用。所以，需要尋求一種新的閾值函數(shù)使它能夠在繼承軟閾值，硬閾值的優(yōu)點的同時克服它們的缺點。這就需要閾值函數(shù)在其閾值點處連續(xù)，同時還具有高階可導的性質(zhì)，這樣既能實現(xiàn)閾值函數(shù)閾值選取的功能又能完好的體現(xiàn)出分解后系數(shù)的能量分布。根據(jù)以上對軟閾值和硬閾值的分析和指數(shù)函數(shù)高階可導的特點，現(xiàn)在提出一種新的閾值函數(shù)，如下所示：

式中，λ為閾值。兩個參數(shù)p，q在閾值函數(shù)中發(fā)揮著各自的作用，共同決定著閾值處理過程與結(jié)果，其中p∈［0，1］，q≥0。該閾值函數(shù)保留了軟閾值函數(shù)在小波域內(nèi)具有連續(xù)性的優(yōu)點，而且在|x|≥λ時具有高階導函數(shù)。隨著p，q在各自固定的取值區(qū)間內(nèi)的波動，該閾值函數(shù)發(fā)揮著不同的作用。當p=0時，無論q取什么值，此閾值函數(shù)就成為了硬閾值函數(shù);當p∈（0，1］且q=0時，此閾值函數(shù)就成為了軟閾值函數(shù);當p∈（0，1］且q→∞時，此閾值函數(shù)變成了一種類似軟閾值的閾值函數(shù)，在該函數(shù)中，參數(shù)p可以調(diào)節(jié)閾值函數(shù)對小波系數(shù)的壓縮程度，彌補了傳統(tǒng)軟閾值函數(shù)在這方面的不足。

由此可見，通過改變p，q的取值可以決定此閾值函數(shù)對小波系數(shù)的作用。其中，q值的改變主要確定閾值函數(shù)的趨向，是成為軟閾值還是硬閾值，而p值的變化主要決定閾值函數(shù)對小波系數(shù)的作用程度。通過p，q這兩個參數(shù)的共同作用，此閾值函數(shù)就變成了軟閾值，硬閾值的一種推廣函數(shù)，在保存了兩種閾值函數(shù)優(yōu)點的同時，也克服了它們在處理小波系數(shù)時的一些缺點。

新提出的閾值函數(shù)不僅在小波域內(nèi)具有連續(xù)性，而且在|x|≥λ時具有高階可導的性質(zhì)，這樣該閾值函數(shù)不僅繼承了軟閾值函數(shù)具有連續(xù)性的優(yōu)點，而且還克服了軟閾值在處理過程中小波系數(shù)與原系數(shù)之間存在固有偏差的缺點，同時也解決了對大于閾值的系數(shù)進行定值壓縮與噪聲隨著小波系數(shù)增大而減少的事實不符合的問題，并通過兩個參數(shù)的調(diào)節(jié)使它同時具備了硬閾值函數(shù)的性能，也就是說此閾值函數(shù)同時具備了軟閾值和硬閾值的優(yōu)點，使用起來更加方便、靈活，去噪效果更好。

1.2、新的閾值選取方式

小波閾值去噪法另一個重要的因素就是閾值的選取，閾值主要由噪聲方差和子帶系數(shù)的能量共同決定，一般情況下，噪聲方差需要從觀測數(shù)據(jù)中得出。若閾值過小，則噪聲去除不完全，去噪后的圖像仍有噪聲殘留;若閾值選取過大，會有部分信號被當作噪聲被濾除，造成信號丟失，引起偏差。噪聲的小波系數(shù)隨著尺度的增大而減小，所以對信號進行去噪時，不同分解層閾值的選取也應該不同，并且閾值應該隨著分解尺度的增加而減少。傳統(tǒng)的閾值選取方式，包括全局閾值和局部適應閾值并沒有隨著分解尺度的變化而有所改變，所以針對以上要求和傳統(tǒng)閾值選取方式在這方面的不足之處，現(xiàn)在提出一種新的，易實現(xiàn)的閾值選取方式：

式中，α為高斯白噪聲的標準差，N為圖像尺度，j為分解尺度。此閾值選取方式是在統(tǒng)一閾值基礎上進行改進的，在保留了傳統(tǒng)統(tǒng)一閾值中標準差α和圖像尺度N在閾值上所做的貢獻的同時在分母上添加了分解尺度j，使閾值隨著分解尺度而改變，分解尺度越大閾值就會相應的減少，這樣就比較符合經(jīng)過小波分解后不同分解層的系數(shù)在對信號和噪聲的比例分布上有所不同的事實。新設定的閾值在保留了原來統(tǒng)一閾值在閾值處理中發(fā)揮的功能的基礎上，通過新增加的分解尺度可以針對小波分解中不同的分解層對各分解層的小波系數(shù)做相應不同的處理，這樣可以增加閾值的實用性，減少小波系數(shù)閾值誤斷引起的偏差。

斯白噪聲的標準差α的選取也有多種方式：可以利用魯棒中值估計法來估計，

α=（median（|fi|）/0．6745）^（0.5）

其中，fi是最低分解尺度的頻帶;也可以利用小波分解系數(shù)中對角細節(jié)系數(shù)的標準差作為噪聲標準差α的估計值。本文采取第二種方法，用對角系數(shù)的標準差αD作為α的估計值。這樣一來，最后的閾值公式為：

公式中，αD作為α的估計值，可以很容易地在小波分解圖像信號之后由分解出的對角系數(shù)計算出來。

接下來我們從小波閾值函數(shù)方面來分析小波閾值去噪的改進方法。

2、小波閾值函數(shù)的改進

硬、軟閾值方法在去噪方面取得了較好的效果，但它們存在缺點。式（3）雖然解決了|w^j，k－wj，k|的誤差問題，但存在間斷點±λ，在圖像重建時會產(chǎn)生一些附加震蕩，而且比較容易出現(xiàn)Pseudo-Gibbs現(xiàn)象等視覺失真。同樣，式（4）在±λ處連續(xù)性好，但|w^j，k－wj，k|存在恒定的誤差，這樣會使圖像的高頻信息產(chǎn)生丟失等失真的現(xiàn)象，且式（4）存在高階求導的困難，不利于進一步用數(shù)學工具對它處理。硬軟折中閾值函數(shù)對式（3）（4）進行了改進，但依然存在恒定偏差問題。

為了更好地解決以上方法所帶來的問題，分別提出了如下的改進的閾值函數(shù)：

式（5）很好地解決了含噪圖像的小波系數(shù)與估計小波系數(shù)恒等的誤差問題，但它沒有調(diào)節(jié)因子，顯然不夠靈活，而且連續(xù)性差;式（6）雖然解決了連續(xù)性問題，但含噪圖像的小波系數(shù)與估計小波系數(shù)的恒定偏差還是沒有得到很好的解決。為了能夠有效解決上述問題，本文提出了新的函數(shù)：

圖1的橫坐標為對fj，k經(jīng)過小波變換得到的原始的小波系數(shù);縱坐標為對小波系數(shù)進行閾值處理后的得到的估計的小波系數(shù)。λ為門限值;根據(jù)式（7）的函數(shù)進行繪圖。圖1中，λ=5，原始小波系數(shù)取值范圍為－20～20。

圖1 ? α=1，n=3時改進閾值函數(shù)

2.1、閾值函數(shù)分析

從數(shù)學的角度對式（7）進行如下分析。

1）函數(shù)的連續(xù)性。

綜上所述：新閾值函數(shù)在±λ處連續(xù)。

2）函數(shù)的漸近性。

綜上所述：函數(shù)式（7）是以w^j，k=wj，k為漸近線的，也就是說，新閾值函數(shù)以w^j，k=wj，k為漸近線。

3）閾值函數(shù)的偏差性。

隨著wj，k→∞，w^j，k逐漸接近wj，k，從而克服了w^j，k與wj，k之間具有偏差的問題。

4）函數(shù)的高階可導性。

當|wj，k|≥λ時，新閾值函數(shù)滿足高階可導，所以便于進行各種數(shù)學處理。

5）閾值可變因子α與n影響分析。

當α=0，n=1時，新閾值函數(shù)為式（5）;當α=0，n→0時，新閾值函數(shù)為軟閾值函數(shù)，當n→∞時新閾值函數(shù)為硬閾值函數(shù);

當α→∞時新閾值函數(shù)就變成為硬閾值函數(shù);因此與式（5）和式（6）相比，新閾值函數(shù)不僅具有整體連續(xù)性的優(yōu)點，而且根據(jù)實際應用調(diào)節(jié)非常靈活。

2.2、改進的閾值函數(shù)去噪算法步驟

第1步選擇合適的小波基函數(shù)，小波基一般根據(jù)具體噪聲圖像的特點進行選擇。然后對帶噪聲圖像式（1）中fj，k進行多層次正交小波變換，得到一組小波分解系數(shù)wj，k，其中：wj，1∈{LHj}（j層水平方向小波系數(shù)）;wj，2∈{HLj}（j層垂直方向小波系數(shù)）;wj，3∈{HHj}（j層對角線方向小波系數(shù)）;（j=1，2，…，l，l表示小波分解的層數(shù)）。

第2步對式（1）中噪聲nj，k方差δ進行估計，噪聲方差δ=median（w1，3/c），其中c是常數(shù)，一般取0．6745。然后在求出δ的基礎上，根據(jù)式（2）求出門限閾值λ的值。

第3步以λ為門限，分別根據(jù)式（7）對LHj，HLj，HHj系數(shù)進行閾值處理，得到估計的小波系數(shù)w^j，k。

第4步根據(jù)所得w^j，k小波系數(shù)以及其他沒有進行閾值處理的低頻部分的小波系數(shù)利用小波基函數(shù)進行小波重新構(gòu)造，從而得到去噪后的圖像f^j，k即f^j，k就是所要求的圖像。

為了證明改進閾值函數(shù)去噪的有效性，使用Matlab軟件對加0．01的高斯白噪的Lena和Cameraman圖像分別用經(jīng)典的軟、硬閾值函數(shù)、硬軟折中閾值函數(shù)以及改進的閾值函數(shù)進行仿真實驗。去噪效果如圖2所示。

圖2 ?對Lena圖像不同方法降噪結(jié)果