LC諧振電路具有選頻功能，廣泛用于各種通信電路。本文就一階LC電路進(jìn)行仿真，以此來(lái)進(jìn)一步加深對(duì)電路特性的理解和記憶。

諧振

當(dāng)電路中存在感性元件（如電感）或者容性元件（電容）時(shí)，信號(hào)源（比如電流源）的頻率變化會(huì)使得電路總體呈現(xiàn)容性、感性或者電阻性。當(dāng)電路呈現(xiàn)電阻性時(shí)，就說(shuō)該電路發(fā)生了諧振。最簡(jiǎn)單的諧振電路就是一階LC諧振電路，只由一個(gè)電感、一個(gè)電容和信號(hào)源組成。

并聯(lián)諧振電路

一階并聯(lián)型LC諧振電路如上面左圖所示，其中的電阻r是電感的固有損耗，這個(gè)固有損耗值一般非常?。ㄒ灾劣诶硐霠顟B(tài)下可以完全忽略），但是一般進(jìn)行諧振分析時(shí)都把它考慮在內(nèi)。通常將該網(wǎng)絡(luò)等效變換到上面的右圖形式。這個(gè)電路有以下幾個(gè)重要參數(shù)：

1、諧振條件$\omega C = \frac{1}{\omega L}$，滿足該條件的諧振角頻率$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}$，諧振頻率$f_0=\frac {\omega_0} {2 \pi} $；

1、等效電阻$R（\omega）=\frac{（\omega L）^2}{r}$；

2、發(fā)生諧振時(shí)，$R（\omega）$記為諧振電阻$R_0$，$R_0=\frac{（\omega_0 L）^2}{r}$；

3、品質(zhì)因數(shù)$Q_0=\frac{R_0}{\omega_0 L}=R_0 \omega_0 C$；

4、通頻帶$B_0.7=\frac{f_0}{Q_0}$；

串聯(lián)諧振電路

串聯(lián)諧振電路的很多公式跟并聯(lián)是相似的，有些特性與并聯(lián)也是對(duì)應(yīng)的。串聯(lián)回路的分析要簡(jiǎn)單很多，可以很容易寫(xiě)出阻抗表達(dá)式。而且也不用進(jìn)行等效變換，該電路的一些公式結(jié)論如下：

1、諧振條件為$\omega L = \frac{1}{\omega C}$，諧振角頻率不變，仍然是$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}$，諧振頻率$f_0=\frac {\omega_0} {2 \pi} $。

2、因?yàn)殡娮鑢直接作為了阻抗的實(shí)部，因此諧振電阻$R_0=r$。

3、品質(zhì)因數(shù)是并聯(lián)的倒數(shù)，$Q_0=\frac{\omega_0 L}{R_0}=\frac{1}{R_0 \omega_0 C}$。

4、通頻帶$B_0.7=\frac{f_0}{Q_0}$；

諧振電路仿真

以并聯(lián)電路為例，在PSpice中連接好最基本的電路，電路參數(shù)在圖中已經(jīng)標(biāo)明。根據(jù)第一節(jié)的結(jié)論公式和該并聯(lián)電路器件參數(shù)，我們可以計(jì)算出電路的諧振角頻率、諧振頻率、諧振電阻、品質(zhì)因素分別為：$\omega_0=25M rad/s$、$f_0 \approx 3.9789MHz$、$R_0=100 \Omega$、$Q_0=100$。

阻抗特性

上圖是電路總阻抗的幅頻（綠線）和相頻（紅線）特性曲線。先來(lái)看相頻，當(dāng)$f《3.9787MHz$時(shí)，相位角為正，說(shuō)明電路呈感性；當(dāng)$f》3.9787MHz$時(shí)，相位角為負(fù)，所以電路呈容性；而$f=3.9787MHz$時(shí)，電路呈電阻性，這說(shuō)明此時(shí)電路諧振，實(shí)際測(cè)得的諧振頻率$f_0=3.9787MHz$。這個(gè)頻率值很接近我們計(jì)算所得的理論值。

我在仿真的時(shí)候，將每十倍頻的采樣點(diǎn)數(shù)故意設(shè)得非常高，也就是說(shuō)結(jié)果的精確度等級(jí)幾乎可以達(dá)到0.0001。之所以強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，是希望讀者注意到上面諧振頻率的誤差，即$0.0002MHz$，并非是由于軟件仿真導(dǎo)致的，而是我們的理論值出錯(cuò)了。諧振角頻率$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}$成立的前提條件是$\omega_0 L 》》 r$，也就是公式中其實(shí)忽略了小r的影響，而真正零誤差的公式為$\omega_0 = \sqrt{ \frac{1}{L C} -\frac{r^2}{L^2} }$，用該公式計(jì)算出來(lái)的諧振頻率恰好就是圖中的$3.9787MHz$。當(dāng)然，實(shí)際中基本都忽略r的影響，因?yàn)樾阅芎玫碾娐分?，其影響真的是微不足道啊?/p>

對(duì)于相頻曲線，還要關(guān)注的就是變化規(guī)律。如上圖所示，可以看到在諧振頻率附近，曲線的斜率非常大，變化得非?？臁＿@說(shuō)明，諧振點(diǎn)是個(gè)非常不穩(wěn)定的點(diǎn)，很容易偏移到感性區(qū)域或者是容性區(qū)域，在實(shí)物電路的調(diào)節(jié)中相信這個(gè)問(wèn)題會(huì)相當(dāng)明顯并且棘手。此外，我們剛講過(guò)r對(duì)相頻的影響，這個(gè)再次體現(xiàn)在了低頻區(qū)域的相位上，大約在1MHz以下，相位就開(kāi)始回零，最終趨于純電阻性。其原因可以通過(guò)阻抗或者導(dǎo)納公式推知，由于是低頻段分析，因此過(guò)程中可將${（\omega L）}^2$忽略簡(jiǎn)化分析：

$Y（j\omega） = j\omega C + \frac{1}{j\omega L + r}=\frac{r}{r^2 + （\omega L）^2}+j［\omega C - \frac{\omega L}{r^2 + （\omega L）^2}］ $

$When \; \omega L 《《 r ，Y（j\omega） = \frac{1}{r}+j［\omega C - \frac{\omega L}{r^2}］$

$\Theta （j\omega） = \arctan \omega （rC-\frac{L}{r}）$

再看第一張圖中的幅頻，曲線呈尖峰狀。結(jié)合相頻曲線，可知在電路諧振時(shí)（是忽略r時(shí)的諧振，而非電路實(shí)際真正的諧振），阻抗的幅值達(dá)到最大，為$100 \Omega$。這里的$100 \Omega$恰好就是諧振電阻$R_0$。

以上是并聯(lián)電路的阻抗特性，在串聯(lián)電路中，阻抗特性曲線如下圖所示，剛好和并聯(lián)相反。

選頻特性和通頻帶

上圖是回路電壓的歸一化曲線，可以表示為$\frac{U（j\omega）}{U_0}$，通過(guò)一定變換，可知它與$\frac{Z（j\omega）}{R_0}$是等價(jià)的。直觀地說(shuō)，上圖就是阻抗幅頻曲線歸一化后的樣子，并且$\frac{U（j\omega）}{U_0}$的相頻與阻抗相頻特性是完全一樣的。

這里，可以測(cè)得通頻帶大約為$39kHz$，允許通過(guò)的頻率范圍就是$3.959MHz$到$3.999Mhz$。結(jié)合理論公式，我們知道：通頻帶和選頻特性是矛盾的，因?yàn)檫x頻特性越好，要求品質(zhì)因數(shù)要越大；如果通頻帶越大，則品質(zhì)因數(shù)就要變小。所以，電路設(shè)計(jì)中要綜合權(quán)衡這兩個(gè)指標(biāo)。

串聯(lián)電路的選頻特性曲線和并聯(lián)的一樣，也是呈尖峰狀，只不過(guò)用于衡量選頻能力的公式變?yōu)?\frac{I（j\omega）}{I_0}$。

諧振電路設(shè)計(jì)

并聯(lián)電路

一階LC諧振電路需要設(shè)計(jì)的參數(shù)無(wú)非就是電感L值和電容C值，而固有損耗通常都是客觀決定的。L、C值的選擇會(huì)影響電路的諧振頻率、諧振電阻、品質(zhì)因數(shù)等特性。以并聯(lián)電路為例，下面討論參數(shù)的選擇問(wèn)題。

首先，很明顯的一點(diǎn)是，$L·C$的值越小，諧振頻率越大；而且假設(shè)L、C各自減小到原來(lái)的一半，那么諧振頻率只增大兩倍，而不是四倍。

第二個(gè)是諧振電阻，將原來(lái)的公式進(jìn)行變換可得$R_0=\frac{L}{C·r}$，由此可知L越大，C越小，那么諧振電阻就越大；而且如果L增大到原來(lái)的兩倍，C減小到原來(lái)的一半，那么諧振頻率仍然不變，但是諧振電阻卻增大了四倍。

品質(zhì)因數(shù)跟諧振電阻有很大關(guān)系，將公式進(jìn)行變換可得$Q_0=\sqrt{\frac{R_0}{r}}$，也就是說(shuō)如果諧振電阻能夠增大到4倍，那么品質(zhì)因數(shù)可以增大到2倍。

并聯(lián)回路的最大電壓就是諧振時(shí)候的電壓，該電壓值$U_0=I_{sm}·R_0$，它的增大趨勢(shì)和諧振電阻相同。

此外，我們必須要注意電感和電容的耐壓耐流特性。在并聯(lián)電路里，諧振時(shí)候流過(guò)電感和電容的電流幅值最大，并且滿足$|I_{C0}|=|I_{L0}|=Q_0|I_{sm}|$。其增大趨勢(shì)是和品質(zhì)因數(shù)相同。

串聯(lián)電路

與并聯(lián)一樣，$L·C$的值越小，諧振頻率越大；而且假設(shè)L、C各自減小到原來(lái)的一半，那么諧振頻率增大兩倍。

諧振電阻取決于固有損耗值。

品質(zhì)因數(shù)$Q_0=\sqrt{\frac{LC}{r^2}}$，L增大，C減小，可以增大品質(zhì)因數(shù)。

串聯(lián)回路的最大電流就是諧振時(shí)候的電流，該電流值$I_0=\frac{U_{sm}}{R_0}$，與諧振電阻呈反比。

在串聯(lián)電路里，諧振時(shí)候電感和電容的分壓最大，并且滿足$|U_{C0}|=|U_{L0}|=Q_0|U_{sm}|$。其增大趨勢(shì)是和品質(zhì)因數(shù)相同。

固有損耗對(duì)電路的影響

最后想要說(shuō)明的一點(diǎn)就是固有損耗帶來(lái)的影響。因?yàn)榉抡孳浖锏哪Ｐ鸵话愣际抢硐氲?，也很難說(shuō)固有損耗一般在哪個(gè)范圍。我嘗試了不同大小的固有損耗值，發(fā)現(xiàn)它對(duì)電路的影響還是比較有趣的。

關(guān)于固有損耗對(duì)諧振頻率的影響，并聯(lián)和串聯(lián)電路表現(xiàn)得截然不同。串聯(lián)電路的諧振頻率絲毫不受干擾（上第一幅圖），并聯(lián)（上第二幅圖）的在上文就已經(jīng)提到過(guò)了。我們看到，固有損耗從$10m \Omega$僅僅變到$900m \Omega$，諧振頻率就偏移了將近50%。解決這一問(wèn)題的方法，就是一定范圍內(nèi)增大L，從而保證$\omega_0 L 》》 r$這一前提條件。例如，就之前的仿真電路，將電感L調(diào)整為$200nH$，電感調(diào)整為$8nF$，此時(shí)諧振頻率仍然不變，但是對(duì)固有損耗的抵抗力顯然增強(qiáng)，如下圖所示（r的取值同上面）：

諧振電路最重要的特性除了諧振頻率，還有就是選頻特性或者說(shuō)通頻帶。比較遺憾的是，同諧振頻率一樣，固有損耗對(duì)選頻特性的影響也非常大。如下圖所示，通頻帶的增大非常明顯，與之相反，我們可以觀察到波峰的位置偏移程度較小，也就是說(shuō)電壓中心頻率對(duì)r是不太敏感的。該問(wèn)題的解決方法與諧振頻率一樣。

除了諧振頻率和選頻特性，下面分析了其他特性的變化，這些變化的前提是$\omega_0 L 》》 r$。

諧振電阻方面，串聯(lián)電路中諧振電阻就是固有損耗電阻，因此r越大，$R_0$也越大；并聯(lián)電路中，$R_0=\frac{L}{C·r}$，所以$R_0$與r呈反比關(guān)系。

品質(zhì)因數(shù)公式在串聯(lián)和并聯(lián)中互為倒數(shù)，但其實(shí)可以化成相同的形式：$Q_0=\sqrt{\frac{R_0}{r}}$。因此，品質(zhì)因數(shù)也與r呈反比關(guān)系。

帶載LC諧振電路

以上的所有分析都是針對(duì)空載電路來(lái)說(shuō)的，然而實(shí)際電路中，都是帶載的情況，此時(shí)為了獲得更好的選頻能力，該如何選擇L和C的值呢？

我們假設(shè)電感的固有損耗為$r$，負(fù)載電阻為$R_L$，則$Q_L=\frac{R_L//r}{\omega_0 L}=\frac{1}{rk+\frac{1}{R_Lk}}$，$k=\sqrt{\frac{C}{L}}$。如果要使品質(zhì)因數(shù)最大，則要滿足$k^2=\frac{C}{L}=\frac{1}{R_Lr}$。進(jìn)而，假設(shè)認(rèn)為電感是理想的，沒(méi)有損耗，那么回路電阻完全取決于負(fù)載，此時(shí)$Q_L=\sqrt{\frac{C}{L}}R_{\Sigma}$，則C越大L越小，品質(zhì)因數(shù)越大，選頻特性越好。