友情提示，運放電路的噪聲分析還是比較復(fù)雜的，不論是基礎(chǔ)理論還是對應(yīng)的推導(dǎo)過程，都不是特別容易。考慮到兄弟們的基礎(chǔ)參差不齊，所以我還是盡量說清楚點，這樣導(dǎo)致看起來就有點羅里吧嗦，也會看起來超級復(fù)雜，希望不會勸退。

1、關(guān)于噪聲我想過的幾個問題

我一般是帶著一些問題去學(xué)一些東西，找答案，個人感覺這樣主動式的要比被動式的理解更為透徹。說下我之前想過的一些問題吧，這些問題也會在后面得到解答。

問題1：白噪聲是隨機的，并且是全帶寬的，如果某個時刻，正好是各個頻率噪聲的波峰疊在一起，那噪聲電壓不是無窮大？概率雖然低，可能性是存在的吧，但是我們好像不會在電路設(shè)計中考慮這個問題。

問題2：一般運放手冊給出的噪聲參數(shù)有兩種，分別是電壓噪聲頻譜密度和電流噪聲頻譜密度，單位分別是伏特除以根號赫茲，和安培除以根號赫茲。這個是什么意思，如何轉(zhuǎn)化為我們常規(guī)理解的電壓信號呢？

問題3：運放的噪聲跟構(gòu)成的電路增益有關(guān)嗎？會不會被放大？

問題4：對于一個具體的運算放大器放大電路，如何評估輸出端的電壓噪聲大小？

我們就帶著上面的問題來學(xué)習(xí)下。

2、噪聲參數(shù)與分析基本原理

a、噪聲類型

噪聲可以分為兩類：外部噪聲和固有噪聲，我們本節(jié)主要評估運放的固有噪聲。

外部噪聲：外部電路或自然因素導(dǎo)致的噪聲，比如220V的市電干擾，宇宙輻射都是外部噪聲。外部噪聲很難估計。

固有噪聲：固有噪聲是由電路的元器件引起的，比如電阻和半導(dǎo)體器件都可以產(chǎn)生噪聲。固有噪聲可以估計。

b、噪聲波形特點

寬帶噪聲波形（高斯分布）：

1/f噪聲波形（高斯分布）：

爆米花噪聲波形（幾個高斯分布疊加）：

可能看這個圖一下子有點蒙，噪聲的波形倒是很直觀，但是右邊那個旋轉(zhuǎn)90°的正態(tài)分布是個什么啥意思？這就不得不說噪聲的分析方法。

c、噪聲的分析方法

我們在電路中通常需要評估電路噪聲在時域的峰峰值。但是噪聲又是一個隨機的過程，幅度隨時間變化而變化，我們沒辦法預(yù)估一個噪聲信號在某一個時刻的瞬間值，所以我們是在統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)上對噪聲進行分析的。

啥叫在統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)上分析呢？就比如我們丟硬幣，正面和反面是隨機的，沒法預(yù)先知道我們下一次丟硬幣到底是正面還是反面，但是我們知道各自的概率是50%，如果實驗次數(shù)足夠多，那么最終正面和反面的次數(shù)各占總次數(shù)的50%。

現(xiàn)在我們評估的噪聲也是隨機的，我們也沒辦法知道下一刻噪聲信號具體長什么樣子，但是我們可以評估，如果我們拿示波器去采樣這個信號的話，會知道它落在某一個電壓范圍的概率是多少，根據(jù)這個概率信息，我們可以推斷出我們的噪聲的峰峰值是多大。

在電路分析中，使用概率分布函數(shù)將均方根噪聲轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲。如下圖，左邊為噪聲的時域波形，右邊為高斯分布，高斯分布也叫正態(tài)分布。

正態(tài)分布有兩個參數(shù)，一個叫期望值μ（也叫平均值），另外一個參數(shù)叫標(biāo)準(zhǔn)差σ，圖中有一個非常重要的地方，那就是RMS值等于標(biāo)準(zhǔn)差σ（μ=0）。

d、為啥噪聲的有效值Vrms等于其正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ呢？

這可以從有效值的這個詞的意義里面推導(dǎo)出來。

有效值：如果某個交流電，與某個電壓的直流電熱效應(yīng)相等，那么就可以認為該直流電的電壓就是這個交流電電壓的有效值。

從有效值的定義看，有效值是熱效應(yīng)的等效，也就是針對做功來說的。

我們再看標(biāo)準(zhǔn)差的公式：

前面說了，噪聲電壓符合高斯分布，用統(tǒng)計學(xué)的方法來看，有下面的推導(dǎo)過程：

以上過程只是為了理解一句話：噪聲的有效值Vrms等于其正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ。

上面推導(dǎo)過程看著有點費勁，看不明白記住也行，這也不是本節(jié)內(nèi)容的重點。

總之，我們就是知道了：噪聲電壓的有效值等于其正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ，那這有什么用呢？

回到我們的目標(biāo)——我們要知道噪聲的峰峰值有多大。

我們通?？梢杂嬎愠鲈肼暤挠行е涤卸啻螅@不是我們的最終目的，我們的最終目的是要知道噪聲的峰峰值有多大，這是我們設(shè)計電路時更關(guān)心的。在我們知道了有效值，那么也就知道了噪聲電壓對應(yīng)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，最終我們就能知道某個時刻噪聲電壓在某個范圍內(nèi)的概率有多大。

還記得大學(xué)教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》最后面附表里面的“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)數(shù)據(jù)分布表”嗎？我在網(wǎng)上找了一個更為精確的正態(tài)分布表，精確到了小數(shù)點15位，如下圖：

我們可以從中得到峰峰值電壓小于某一個值的概率，如下表所示：

可能還是不太明白這個表是啥意思？簡單說就是，我們對有效值為Vrms的噪聲進行采樣，其采樣值落在-σ到+σ之間的概率是68%，落在-2σ和+2σ之間的概率是95.45%，落在-3σ和+3σ之間的概率是99.73%。這意味著幅值很大的電壓值出現(xiàn)的概率很小，比如落在-4σ和+4σ的概率是99.994%，即電壓超過±4σ的電壓出現(xiàn)的概率是0.006%，這個概率是很低的。如果我們拿示波器去測量這個電壓，在示波器界面可能是看不到超過±4σ的電壓信號的，畢竟示波器采樣的數(shù)據(jù)量有限，除非說我們觀察非常久的時間，可能捕捉到一個更高的電壓信號，但通常我們也不會這么干。

從前面的正態(tài)分布表也可以知道，采樣值落在8σ內(nèi)的概率已經(jīng)是99.9999999999999%，也就是說電壓值超出±8σ的概率是0.0000000000001%。

基于上面的概率問題，一般評估噪聲的峰峰值電壓是±3σ對應(yīng)的換算系數(shù)，也就是認為噪聲的峰峰值為6*vrms，如果對噪聲容忍程度非常低，可以用±4σ或更高的換算系數(shù)。

以上就是使用統(tǒng)計學(xué)評估噪聲的基本原理，到這里已經(jīng)可以回答前面的問題1：

問題1：白噪聲是隨機的，并且是全帶寬的，如果某個時刻，正好是各個頻率的波峰疊在一起，那噪聲電壓不是無窮大？概率雖然低，但可能性是在的吧，但是我們好像不會考慮這個問題。

答：如果用統(tǒng)計學(xué)的方法看，因為正態(tài)分布兩邊是無限延伸的，這種情況也是存在的。但可以想象，出現(xiàn)這種概率是有多么多么的小，畢竟噪聲電壓在±4σ外的概率已經(jīng)低到了0.006%。從前面15位精度的正態(tài)分布表看，到了±8σ的概率已經(jīng)低到了0.0000000000001%，至于問題里面無窮大電壓的場景，應(yīng)該只具有數(shù)學(xué)上的可能性，現(xiàn)實中是不會出現(xiàn)的了。

為了避免沒抓到重點，這里先小結(jié)一下：

電壓噪聲服從高斯分布（正態(tài)分布），并且其有效值Vrms就對應(yīng)高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ。再結(jié)合高斯分布的特性，我們一般可以認為電壓不超過±3σ，即電壓不超過6*Vrms，即評估噪聲的時候，可以按照噪聲電壓峰峰值為6*Vrms。

到這里，那么剩下的問題就是如何計算噪聲的有效值Vrms了。

器件一般以頻譜密度的方式給出，比如下面是ti的芯片tlv9061給出的噪聲參數(shù)：

可以看到，噪聲的大小是跟頻率有關(guān)系的，不同頻率段的噪聲大小不同。除此之外，除了0.1Hz~10Hz是直接以峰峰值給出的，單位是uVpp，這個理解起來完全沒問題。另外兩個，一個是電壓噪聲密度，單位是nv/(根號Hz)，另外也是fA/(根號Hz)，理解起來就相對困難，我就想廠家為什么這么給參數(shù)呢？直接像0.1Hz~10Hz這樣給出峰峰值大小不香嗎？這是故意要提高使用門檻嗎？

e、噪聲參數(shù)為什么以根號hz的方式給出？

可以看到，上面是芯片tlv9061規(guī)格書中表格的數(shù)據(jù)，其規(guī)格書也給出了噪聲參數(shù)的曲線，我們來看一下。

看右邊的圖，橫軸是頻率，縱軸是電壓噪聲頻譜密度，下面來看下其物理意義吧。

以上解釋了為什么噪聲電壓密度的單位為什么是V/根號Hz，如果要用簡短的話概括，那就是：電壓有效值是針對做功來說的，而做功相關(guān)的參數(shù)就是功率譜密度，單位是V^2/Hz或A^2/Hz，功率譜密度開方就是電壓/電流幅度譜密度（假定負載是1Ω），單位是：V/根號Hz和A/根號Hz。

需要注意，上面的推導(dǎo)非常的不嚴謹。要想真正嚴謹?shù)睦斫?，需要去看大學(xué)教材《信號與系統(tǒng)》的第6章節(jié)。

值得一提的是，第1步到第2步用到了帕斯瓦爾定理：

現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了上圖中的電壓噪聲頻譜密度的物理意義，那么如何將這個轉(zhuǎn)化為Vrms值呢？

f、如何將電壓噪聲頻譜密度轉(zhuǎn)化為Vrms

其實這個轉(zhuǎn)化在上面圖片中第3步已經(jīng)寫明了，就是這個式子：

需要注意，上面的積分范圍0~∞，是全帶寬積分，實際應(yīng)用中要根據(jù)實際的頻率范圍。看著這個公式不是很直觀，下面就以運放為例子來畫一個示意圖吧。

根據(jù)運放手冊提供的電壓噪聲頻譜密度，我們將每一個點進行平方，就可以得到右邊的功率譜密度，然后在頻率上進行積分，這個積分過程就等效為求圖中陰影部分的面積，然后我們將求得的面積進行開方，就能得到噪聲電壓的有效值了，圖中計算了從10hz~100Khz帶寬內(nèi)的噪聲電壓有效值。

實際應(yīng)用中，我們通常不會求全帶寬的，因為實際電路也不是全帶寬的，我們實際通常求的是一段帶寬范圍內(nèi)的，因此，常用的是下面這個：

上面的過程看著很復(fù)雜，只是為了說明最基本的原理，實際評估運放噪聲會有一些近似的辦法的，這個后面會講。

總之，將電壓噪聲頻譜密度轉(zhuǎn)化為有效值的原理就是：將電壓噪聲頻譜密度進行平方，轉(zhuǎn)為功率譜密度，然后在帶寬范圍內(nèi)積分（求面積），再開方，就能求得有效值電壓了。

g、如何將電流噪聲頻譜密度轉(zhuǎn)化為Irms

電流噪聲頻譜密度轉(zhuǎn)為電流有效值Irms，其實原理和電壓噪聲頻譜密度的轉(zhuǎn)換一樣，因為功率P=U^2/R，也等于P=I^2*R，如果按照前面的過程推一遍，電阻R也是可以消掉的，最終可以求得電流有效值為：

3、兩種噪聲源

說完了如何將噪聲電壓頻譜密度轉(zhuǎn)化為有效值電壓Vrms，以及如何將電流噪聲頻譜密度轉(zhuǎn)化為有效值電流Irms的原理及公式。

還有個問題，那就是運放電路到底有哪些噪聲需要評估呢？只有運放的噪聲需要評估嗎？

噪聲我們一般要評估兩種，一種是運放的噪聲，一種是電阻的噪聲。

下面來繼續(xù)具體說下如何將它們轉(zhuǎn)化為Vrms和Irms。

4、運放本身的噪聲Vrms，Irms計算

運放的噪聲有電壓噪聲和電流噪聲，如下圖是ti的運放芯片tlv9061給出的噪聲參數(shù)，給出的是電壓噪聲頻譜密度和電流噪聲頻譜密度。

也給出了對應(yīng)的電壓噪聲密度曲線：

前面我們已經(jīng)知道了求運放噪聲的基本原理：將噪聲電壓頻譜密度進行平方，轉(zhuǎn)為功率譜密度，然后在帶寬范圍內(nèi)積分（求面積），再開方，就能求得有效值電壓了。

問題是這個求面積可操作性實在是太差了，這個面積很不好求，那么有什么辦法呢？

辦法自然是有，那就是將上面的曲線分成兩部分，分別是1/f噪聲和寬帶噪聲，如下圖所示。

我們在手冊中看到的電壓噪聲頻譜密度曲線可以看作是1/f噪聲和寬帶噪聲的疊加（平方后相加再開根號），疊加起來之后的曲線看起來不規(guī)則，導(dǎo)致我們難以計算。所以真正計算噪聲的時候，我們又需要將這個噪聲分解為1/f噪聲和寬帶噪聲兩部分。

a、寬帶噪聲Vrms_bw的計算

因為寬帶噪聲曲線是平的，很好計算，就先看寬帶噪聲的計算方法吧。

既然寬帶噪聲密度曲線是平的，也就是說其是一個常量，用字母B來表示吧，那么其在頻率fa~fb頻帶內(nèi)的噪聲可以用下面公式計算：

舉個例子：求tlv9061在0.1Hz~100Khz頻帶內(nèi)的寬帶噪聲電壓有效值？

首先從曲線上看出，在10Khz以后，噪聲電壓頻譜密度為10nV/根號赫茲，這個就是寬帶噪聲電壓頻譜密度，即對應(yīng)上面公式的B=10nV/根號赫茲。

套用上面的公式，最終可求得在0.1hz~100Khz帶寬內(nèi)的寬帶電壓噪聲有效值為3162nV。

b、1/f噪聲Vrms_1/f的計算

再看看啥叫1/f噪聲。

顧名思義，1/f噪聲，說的就是功率譜密度曲線與頻率之間滿足1/f的規(guī)律，注意，這里是功率譜密度，不是電壓頻譜密度。如果是電壓頻譜密度，那么就是滿足1/（根號f）的規(guī)律。

如果在頻率1Hz處的1/f電壓噪聲頻譜密度是A，那么根據(jù)1/f的規(guī)律，頻率f處的1/f電壓噪聲頻譜密度值有如下關(guān)系式：

根據(jù)上面這個式子，我們就可以得到一定頻率范圍內(nèi)1/f電壓噪聲的有效值，計算方法如下：

還是以tlv9061舉例子：求tlv9061在0.1Hz~100Khz內(nèi)的1/f電壓噪聲有效值？

規(guī)格書中只給了10Hz~100Hz的電壓噪聲頻譜密度曲線，因此，無法直接從圖中得到1Hz的電壓噪聲頻譜密度A，規(guī)格書的數(shù)據(jù)表格也沒有提供這個參數(shù)，那怎么辦呢？

其實我們可以從1/f噪聲的定義推測出來，我們可以先求得10Hz處的1/f噪聲，然后根據(jù)前面的1/f噪聲頻譜密度公式推算出來A的大小。

具體過程如下：

首先從曲線上面可以得到10Hz處的總的電壓噪聲頻譜密度為：E10hz（總）=110nV/根號hz，然后我們又知道10Hz出的寬帶電壓噪聲頻譜密度為：10nV/根號hz。再根據(jù)疊加關(guān)系，就可以得到10Hz處的1/f噪聲。

然后根據(jù)前面的1/f電壓噪聲頻譜密度公式可求得A的值，再利用Vrms_1/f公式求得最終的噪聲電壓有效值為1286nV。

c、總電壓噪聲Vrms計算

前面我們將噪聲分解為1/f噪聲Vrms_1/f和寬帶噪聲Vrms_bw，現(xiàn)在已經(jīng)知道怎么求各自的有效值了，現(xiàn)在還需要將它們合并，求最終的噪聲電壓有效值。

也很簡單，只需要將它們平方之后相加再開根號就可以了，注意，不要直接將兩個電壓值相加。

為什么不是直接相加？

其實也可以從電壓做功的角度考慮，因為做功電壓是要平方的，如果直接相加，那么分別計算做的功相加，和電壓先相加再計算做的功必然不相等。比如如果二者都是1V，那么分別在R上做的功為：1V*1V*R+1V*1V*R=2R；電壓相加做的功：（1V+1V）*（1V+1V）*R=4R，兩者是不相等的。

所以按照前面的例子，1/f電壓噪聲有效值是1286nV，寬帶電壓噪聲是3162nV，那么最終的總電壓噪聲有效值就是他們倆和的平方根，即3413nV。

e、總電流噪聲Irms計算

上面舉的例子都是電壓噪聲Vrms計算，其實電流噪聲Irms也是一樣的，也是分別計算1/f電流噪聲和寬帶電流噪聲，然后將兩者計算平方和根即可。

不過因為前面舉例子的芯片tlv9061沒有給全電流噪聲參數(shù)，只有一個1Khz的電流噪聲密度值，也沒有對應(yīng)的曲線，所以沒辦法具體計算。

至于廠家為什么沒有標(biāo)出來，那是因為這個放大器CMOS型放大器，電流非常小，電流噪聲就更小了。從上表可以看出，這顆放大器的電壓噪聲是nV級，而電流噪聲是fA級，中間還隔著pA級，也就是說，電流噪聲遠小于電壓噪聲，因此電流噪聲可以忽略掉。

為了說明電流噪聲Irms如何計算，還是舉個例子吧。

因為手冊中只給出了1Khz時的電流噪聲頻譜密度為23fA/根號赫茲，從噪聲頻譜密度曲線形狀上我們知道，在低頻時噪聲密度值隨頻率升高而下降，高頻時噪聲密度隨頻率基本不變，其約等于寬帶噪聲。由此我們知道這個放大器的寬帶噪聲密度肯定是小于23fA/根號赫茲的，我們暫且就用23fA/根號赫茲這個參數(shù)計算寬帶噪聲，知道這個計算出來的值要比實際情況大就好。

最終計算0.1Hz~100Khz的寬帶電流噪聲有效值Irms_bw為7.3nA，計算過程如下

d、帶寬確定

到這里已經(jīng)說明了如何求得fa~fb頻帶內(nèi)的噪聲有效值，那問題來了，為什么不求0~∞帶寬的噪聲有效值呢？而只求一部分？

下限頻率fa

為什么下限頻率fa不能是0呢？

這是因為，我們是從統(tǒng)計學(xué)的方法分析的噪聲，如果最低頻率為0，那么意味值時間為無窮大，這顯然不符合常理。另外一方面，如果fa=0，那么其電壓噪聲頻譜密度為無窮大，這也是沒法計算的。

工程上認為，當(dāng)噪聲頻率低于0.1Hz，即10s以上發(fā)作一次的事件，一般可以被認為是人為、環(huán)境因素帶來的擾動，這可能與運放電路本身無關(guān)。因此，絕大多數(shù)情況下，計算1/f噪聲，下限取值為0.1Hz。

上限頻率fb

上限頻率fb為什么不能是無窮大呢？

首先，如果上限是fb，那么不論是1/f噪聲，還是寬帶噪聲，最終的結(jié)果都會是無窮大，這也是不符合常理的。

另外一方面，我們的運放電路本身都是有上限截止頻率的，類似于一個低通濾波器，還記得運放有一個參數(shù)增益帶寬積GBW嗎？頻率到一定程度，運放都放大不了信號的。

如下圖是tlv9061的開環(huán)曲線，頻率超過100Hz之后， 每10倍頻下降20dB，這個特性跟一階低通濾波器是一樣的。

當(dāng)然，運放一般不是在開環(huán)的時候用，我們再看看閉環(huán)電路的增益情況。下圖是tlv9061手冊中的閉環(huán)增益曲線，可以看到，閉環(huán)增益為10倍時，在1Mhz以后，也是每10倍頻下降20db，其曲線像是一個截止頻率為1Mhz的低通濾波器。

總之，我們在使用運放的時候，其最終的幅頻特性就類似一個低通濾波器，其截止頻率就是閉環(huán)的帶寬。這個濾波器也會濾掉高頻的噪聲，所以說評估噪聲的時候，不能認為噪聲上限是無窮的，我們要確定好上限頻率fb。

那問題來了，上限頻率是等效濾波器的截止頻率嗎？

答案是否定的，因為濾波器的截止頻率一般說的是3db的，3db往后噪聲只是被衰減了，并不是沒有了。

如果說高于截止頻率之后，增益立馬變?yōu)?，那么上限頻率等于截止頻率沒問題，但問題是現(xiàn)在這個濾波器并非磚墻濾波器（頻帶內(nèi)完全不衰減，頻帶外完全衰減為0），所以，如果我們直接草率的讓上限頻率fb等于截止頻率，那么是不符合實際的。

可能會有同學(xué)認為，截止頻率之后看著幅度衰減很快，忽略也不要緊吧？其實不然，因為這是個對數(shù)坐標(biāo)軸，也就是說頻率增大10倍才下降20db，從截止頻率下降20db的頻率范圍其實很寬，因此不能忽略。

既然問題不能忽略，那又尬住了，這個上限頻率fb咋辦？

可以用等效的方法，原理如下：假設(shè)有一個磚墻濾波器，其截止頻率為fh，如果其帶寬內(nèi)的噪聲電壓有效值等于這個濾波器的噪聲電壓有效值，那么我們就可以把這個fh看作是我們要的上限頻率fb。

結(jié)合前面鋪墊的基礎(chǔ)，只需要讓下面兩部分的面積相等，就能求得fh和f截止的關(guān)系，進而就能求得上限頻率fb=fh了（注意，下圖的縱軸是電壓頻譜密度的平方，并不是增益曲線，其形狀應(yīng)該是增益平方后對應(yīng)的形狀）。

后面的等效計算完全就是個數(shù)學(xué)問題，這里就不推導(dǎo)了，直接拿結(jié)論來用吧，fh=1.57*f截止，即上限頻率是濾波器截止頻率的1.57倍。

注意，這里的數(shù)學(xué)計算是將噪聲看成是寬帶噪聲來算的，忽略了1/f噪聲，因為在高頻段，1/f噪聲的貢獻本身非常小，所以忽略是沒問題的。

其次需要注意，如果我們的電路本身就是濾波器電路，并且階數(shù)不是一階，那么這個系數(shù)也需要對于的變化。這應(yīng)該比較容易明白，如果是高階濾波器，那么曲線更陡峭，更加接近于磚墻濾波器，其系數(shù)應(yīng)該更小。

下面是各種濾波器的系數(shù)：

舉個例子：現(xiàn)用tlv9061設(shè)計了一個放大5倍的放大器，電路本身并非是濾波器電路，請問其評估噪聲的時候帶寬是多少？

答：如前面的分析，頻率下限按照fa=0.1Hz；查看手冊，TLV9061的增益帶寬積是10Mhz，放大倍數(shù)為5倍，所以其閉環(huán)增益帶寬為：10Mhz/5=2Mhz，這個電路本身并非濾波器，因此等效為一階濾波器，截止頻率為2Mhz，再乘以一階濾波器的系數(shù)1.57，可求得頻率上限fb=1.57*2Mhz=3.14Mhz。

總之，我們在評估帶寬的時候，下限可以按照0.1Hz來評估。上限要看電路本身是否是濾波器，如果不是濾波器，可以先求得對應(yīng)的閉環(huán)帶寬，然后乘以對應(yīng)的系數(shù)，就能得出上限頻率了；如果是低通濾波器，則直接用濾波器的截止頻率乘以對應(yīng)的系數(shù)，也能得到上限頻率。

5、電阻的噪聲Vrms_r的計算

關(guān)于運放的噪聲已經(jīng)說明白了，那么電阻噪聲呢？

電阻噪聲一般說的是熱噪聲，也是白噪聲，其特點是各個頻率的噪聲能量相同，即噪聲密度是一條平坦的曲線。它的RMS值與帶寬的平方根成正比，隨著帶寬的增加，電阻的噪聲會成為電路噪聲的主要因素。

電阻的電壓噪聲有效值計算相對簡單，只跟電阻阻值的大小，溫度，帶寬三者有關(guān)，可以用下面公式計算：

我們也可以根據(jù)上面的公式，反推得到電阻的電壓噪聲頻譜密度公式，下圖即是電阻的電壓噪聲密度公式，以及常見電阻在25℃下的電壓噪聲頻譜密度。

實際電路設(shè)計中，我們可以根據(jù)上表快速的近似估算電阻的噪聲大小。

根據(jù)上面的公式，我們可以推導(dǎo)出：無論并聯(lián)，串聯(lián)，只要最終總的電阻阻值一致，都是不會改變電阻的熱噪聲的，過程就不證明了。

6、總的電壓噪聲輸出計算

至此，我們已經(jīng)知道如何求得運放，電阻各自的電壓噪聲有效值，但這還不是我們最終的目的，我們需要知道的是我們設(shè)計的電路輸出的總的電壓噪聲大小。

其實后面就簡單了，我們只需要將噪聲源加到電路當(dāng)中去就可以了，然后利用疊加原理分別計算不同噪聲源對輸出噪聲的貢獻，最后就可以求得最終輸出端的總噪聲大小了。

a、放大器電路噪聲模型

下圖是常見的同相放大器放大電路：

我們給每個電阻加上電壓噪聲，給放大器加上電壓噪聲和電流噪聲，最終可構(gòu)建如下圖所示的電路噪聲模型。

這里需要提一點，我們前面已經(jīng)知道了運放的電流噪聲有效值Irms如何計算，但是這個模型里面是有兩個電流噪聲的，分別是同相端電流噪聲in+_rms和反相端電流噪聲in-_rms，一般我們認為計算出的電流噪聲Irms=in+_rms=in-_rms。

加上所有的噪聲信號之后，這個電路看起來非常復(fù)雜，看著有點頭大，那么輸出端總的電壓噪聲該如何計算呢？

b、放大器電路的總噪聲有效值Vn_rms_out

其實開頭已經(jīng)說了，我們只需要將噪聲源加到電路當(dāng)中去就可以了，利用疊加原理然后分別計算不同噪聲源對輸出噪聲的貢獻，就可以求得最終輸出端的總噪聲大小了。

具體如何求呢？

上圖中有3個電阻，就有3個電阻電壓噪聲，然后放大器同相和反相端各有1個電流噪聲，還有一個運放的電壓噪聲，總共6個噪聲源，我們要分別求這6個噪聲源在輸出端產(chǎn)生的噪聲大小。

因為我們電路是線性電路，因此滿足疊加原理，可以求得6個噪聲的表達式如下，然后將這些噪聲求平方和，然后開根號，就能得到我們最終總的輸出電壓總噪聲Vn_rms_out了。

這里有個問題，不是利用疊加原理嗎？為什么最終總的電壓噪聲有效值不是將這6個直接加起來呢？而是取平方，累加之后再開方呢？

其實原理跟1/f噪聲和寬帶噪聲疊加的原理一樣，我們現(xiàn)在計算的6個噪聲都是有效值，合并之后計算總的輸出也是有效值，既然都是有效值，那么就是疊加后要滿足做功相等，所以就是平方后累加再開方。

下面寫明了如何求得6個噪聲的表達式，其實如果對運放的虛短和虛斷理解清晰，應(yīng)該就不在話下了。

1、放大器電壓噪聲Vn_rms對輸出端的貢獻Vn_rms_out

單獨評估放大器電壓噪聲Vn_rms對輸出端的貢獻，那么我們令其它的噪聲不存在，電壓噪聲統(tǒng)統(tǒng)視為短路，電流噪聲通通視為斷路。同時我們是評估噪聲的影響，那么令輸入信號也為0，即輸入接地，最終等效電路如下圖：

根據(jù)運放的基本特性，我們很容易就能求出Vn_rms在輸出端的貢獻電壓了，過程如下：

上面這個電路其實就是個常見的同相放大電路，放大倍數(shù)就是1+R1/R2，輸入信號是Vn_rms，上面的過程我只不過是按照運放虛斷和虛短的基本特性又推導(dǎo)了一遍而已。

繼續(xù)看剩下的5個噪聲對輸出的貢獻。

2、放大器正相端電流噪聲In+_rms對輸出噪聲的貢獻Vn+_rms_out

同樣的道理，其它的電壓噪聲視為短路，電流噪聲視為開路，輸入接地，電路圖變成如下：

很容計算出正相端電流噪聲在輸出端的貢獻如下：

3、放大器負相端電流噪聲In-_rms對輸出噪聲的貢獻Vn-_rms_out

4、電阻Rp的噪聲Vn_rms_rp對輸出的貢獻Vn_rms_rp_out

5、電阻R1的噪聲Vn_rms_r1對輸出的貢獻Vn_rms_r1_out

6、電阻R2的噪聲Vn_rms_r2對輸出的貢獻Vn_rms_r2_out

可以看到，如果運放的AoL不是無窮大，那么實際電路的閉環(huán)增益是和電阻有關(guān)系的。我們代一些具體的值進去看看影響有多大，假設(shè)R2=1K，R1=9K。開環(huán)增益從1到1百萬時，閉環(huán)增益的情況如下圖：

從上面至少可以看到兩點：

a、在AoL比較小的時候，實際增益就與理想情況下的增益有明顯差異了。比如如果AoL=1000，實際閉環(huán)增益Av=9.901，與我們想象的放大10倍就已經(jīng)有1%左右的差異，如果AoL=100，實際Av=9.09，差不多有10%的差距了。

b、在AoL比較大的時候，一致性要求低。盡管AoL=100萬和AoL=10萬二者相差了10倍，但是閉環(huán)增益一個是9.9999，一個是9.999，相對于理想情況下的10來說，誤差都非常小。也就是說只要運放開環(huán)增益AoL足夠大，閉環(huán)增益都基本穩(wěn)定在同一個值，正是因為這樣，我們對運放的開環(huán)增益AoL的一致性要求就很低了，只要求大就可以了，不管是50萬倍還是100萬倍，閉環(huán)增益都基本一樣。我們實際運放的AoL也確實沒那么精確。

以LM2904為例，如下圖，其典型開環(huán)增益AoL是140V/mV=14萬倍，最小值為7萬倍，如果考慮溫度，那就只有3.5萬倍，至于上限，都是沒有標(biāo)出來的?？偟膩碚f，就是器件的開環(huán)增益一致性比較差，但是因為夠大，也不影響我們使用。

除此之外，我們還應(yīng)該看到第3點：

c、閉環(huán)增益越大，要求AoL越大。上面是放大10倍的情況，閉環(huán)增益誤差1%時對應(yīng)的開環(huán)增益是1000。假如我們放大100倍（即設(shè)計閉環(huán)增益=100倍），要求實際運放閉環(huán)增益與理想運放只有1%的差距，那么需要AoL≈10000（此時閉環(huán)增益Av=99）。相對于10倍只需要AoL=1000，此時AoL=10000提高了10倍。這可以自己算一下，就不再寫出來了。

之所以前面寫了這么多，就是因為運放的AoL本身就不是固定的，它跟頻率有關(guān)系，這也就造成了運放的使用有了限制。

還是以LM2904為例，手冊表格中的AoL=140V/mV=14萬倍=20log(140000)=102db。手冊還給出了AoL與頻率的關(guān)系曲線，如下圖：

從圖中可以看到，AoL隨頻率是一直在下降的，最左邊的頻率為100Hz，開環(huán)增益AoL=82dB左右，相對表格中的直流開環(huán)增益AoL=102dB，下降了20dB，也就是10倍。頻率為1Khz的時候，AoL=62dB左右，相對直流AoL下降了40dB，也就是100倍。

極端一點，在1.2Mhz的時候，AoL=0dB，也就是說，這個運放沒有放大作用，開環(huán)增益為0，既不放大，也不衰減。這個頻率點也就是運放的單位增益帶寬，也是運放的增益帶寬積。

所以呢，我們在使用運放的時候，我們要看我們放大信號的有效頻率是多大，如果過大，在對應(yīng)頻率處運放的實際AoL可能就比較小，導(dǎo)致實際增益達不到我們的目標(biāo)，電路也就失效了。

實際電路如何考慮

運放基本都給出了一個參數(shù)叫增益帶寬積，比如LM2904是1.2Mhz

除此之外，曲線上面也能看出來，對應(yīng)開環(huán)增益為0db的點就是增益帶寬積GBW，也是單位增益帶寬。

前面的章節(jié)只是為了說明道理，我們實際設(shè)計電路的時候，一般用這個增益帶寬積就夠了。

舉個例子：

問：假設(shè)我們要求電路放大10倍，有用信號最大頻率是10Khz，那么這個帶寬積GBW=1.2Mhz的運放能滿足要求嗎？或者說如果要放大10倍，用這個運放最大可以放大多大頻率的信號？

答：

1、f=10Khz，Av=10倍，計算f*Av=100khz < 1.2Mhz，這個運放是可以滿足要求的

2、GBW=1.2Mhz，Av=10倍，計算f=GBW/Av=120Khz，即這個情況下運放最大可以放大120Khz的信號，頻率高了增益就會下降。

需要注意，這個計算本身就是極限值，因為增益帶寬積本身就是3dB時候的，因此此時已經(jīng)有了一定的衰減，如果完全按照這個計算值來設(shè)計，實際得到的增益還是會有所下降的。如果要求特別準(zhǔn)確，必須留夠充足的裕量。

上面是通過計算的方法，一些手冊也列舉了閉環(huán)增益與頻率的關(guān)系，我們也可以看圖，比如下圖是LM2904的曲線。

可以看到，放大10倍的時候，增益下降3db對應(yīng)的頻率大概就是100K多一點，與前面計算的120Khz基本相符合。如果要求增益非常準(zhǔn)確，從曲線上看，頻率可能只能用到30Khz左右了。

小結(jié)

關(guān)于運放的增益就寫到這里了，主要寫了以下幾點：

1、啥是開環(huán)增益，閉環(huán)增益

2、開環(huán)增益是如何影響閉環(huán)增益的

3、電路設(shè)計中如何考慮增益與帶寬的問題

審核編輯：湯梓紅