開關(guān)電源（Buck電路）的小信號模型及環(huán)路設(shè)計

摘要：建立了Buck電路在連續(xù)電流模式下的小信號數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)穩(wěn)定性原則分析了電壓模式和電流模式控制下的環(huán)路設(shè)計問題。

關(guān)鍵詞：開關(guān)電源；小信號模型；電壓模式控制；電流模式控制

0??? 引言

??? 設(shè)計一個具有良好動態(tài)和靜態(tài)性能的開關(guān)電源時，控制環(huán)路的設(shè)計是很重要的一個部分。而環(huán)路的設(shè)計與主電路的拓撲和參數(shù)有極大關(guān)系。為了進行穩(wěn)定性分析，有必要建立開關(guān)電源完整的小信號數(shù)學(xué)模型。在頻域模型下，波特圖提供了一種簡單方便的工程分析方法，可用來進行環(huán)路增益的計算和穩(wěn)定性分析。由于開關(guān)電源本質(zhì)上是一個非線性的控制對象，因此，用解析的辦法建模只能近似建立其在穩(wěn)態(tài)時的小信號擾動模型，而用該模型來解釋大范圍的擾動（例如啟動過程和負載劇烈變化過程）并不完全準確。好在開關(guān)電源一般工作在穩(wěn)態(tài)，實踐表明，依據(jù)小信號擾動模型設(shè)計出的控制電路，配合軟啟動電路、限流電路、鉗位電路和其他輔助部分后，完全能使開關(guān)電源的性能滿足要求。開關(guān)電源一般采用Buck電路，工作在定頻PWM控制方式，本文以此為基礎(chǔ)進行分析。采用其他拓撲的開關(guān)電源分析方法類似。

1??? Buck電路電感電流連續(xù)時的小信號模型

??? 圖1為典型的Buck電路，為了簡化分析，假定功率開關(guān)管S和D₁為理想開關(guān)，濾波電感L為理想電感（電阻為0），電路工作在連續(xù)電流模式（CCM）下。R_e為濾波電容C的等效串聯(lián)電阻，R_o為負載電阻。各狀態(tài)變量的正方向定義如圖1中所示。

圖1??? 典型Buck電路

??? S導(dǎo)通時，對電感列狀態(tài)方程有

??? L=U_in－ U_o??? （1）

??? S斷開，D₁續(xù)流導(dǎo)通時，狀態(tài)方程變?yōu)?

??? L=－U_o??? （2）

??? 占空比為D時，一個開關(guān)周期過程中，式（1）及式（2）分別持續(xù)了DT_s和（1－D）T_s的時間（T_s為開關(guān)周期），因此，一個周期內(nèi)電感的平均狀態(tài)方程為

??? L=D(U_in－U_o)＋(1－D)(－U_o)=DU_in－U_o??? （3）

??? 穩(wěn)態(tài)時，=0，則DU_in=U_o。這說明穩(wěn)態(tài)時輸出電壓是一個常數(shù)，其大小與占空比D和輸入電壓U_in成正比。

??? 由于電路各狀態(tài)變量總是圍繞穩(wěn)態(tài)值波動，因此，由式（3）得

??? L=(D＋d)(U_in＋)－(U_o＋)??? （4）

??? 式（4）由式（3）的穩(wěn)態(tài)值加小信號波動值形成。上標為波浪符的量為波動量，d為D的波動量。式（4）減式（3）并略去了兩個波動量的乘積項得

??? L=D＋dU_in－??? （5）

由圖1，又有

??? i_L=C＋??? （6）

??? U_o=U_c＋R_eC??? （7）

式（6）及式（7）不論電路工作在哪種狀態(tài)均成立。由式（6）及式（7）可得

??? i_L＋R_eC=(U_o＋CR_o)??? （8）

??? 式（8）的推導(dǎo)中假設(shè)R_e<<R_o。由于穩(wěn)態(tài)時=0，=0，由式（8）得穩(wěn)態(tài)方程為i_L=U_o/R_o。

這說明穩(wěn)態(tài)時電感電流平均值全部流過負載。對式（8）中各變量附加小信號波動量得

??? i_L＋＋R_eC=〔U_o＋＋CR_o〕（9）

式（9）減式（8）得

??? ＋R_eC=(＋CR_o)（10）

將式（10）進行拉氏變換得

??? (s)=??? （11）

??? 一般認為在開關(guān)頻率的頻帶范圍內(nèi)輸入電壓是恒定的，即可假設(shè)=0并將其代入式（5），將式（5）進行拉氏變換得

??? sL(s)=d(s)U_in－(s)??? （12）

由式（11），式（12）得

??? =U_in??? （13）

??? =·??? （14）

式(13)，式(14)便為Buck電路在電感電流連續(xù)時的控制－輸出小信號傳遞函數(shù)。

2??? 電壓模式控制（VMC）

??? 電壓模式控制方法僅采用單電壓環(huán)進行校正，比較簡單，容易實現(xiàn)，可以滿足大多數(shù)情況下的性能要求，如圖2所示。

??? 圖2中，當(dāng)電壓誤差放大器（E/A）增益較低、帶寬很窄時，V_c波形近似直流電平，并有

??? D=V_c/V_s（15）

??? d=/Vs（16）

式（16）為式（15）的小信號波動方程。整個電路的環(huán)路結(jié)構(gòu)如圖3所示。

??? 圖3沒有考慮輸入電壓的變化，即假設(shè)=0。圖3中，（一般為0）及分別為電壓給定與電壓輸出的小信號波動；K_FB=U_REF/U_o，為反饋系數(shù)；誤差e為輸出采樣值偏離穩(wěn)態(tài)點的波動值，經(jīng)電壓誤差放大器K_EA放大后，得；K_MOD為脈沖寬度調(diào)制器增益，K_MOD=d/=1/V_s；K_PWR為主電路增益，K_PWR=/d=U_in；K_LC為輸出濾波器傳遞函數(shù)，K_LC=。

圖2??? 電壓模式控制示意圖和相關(guān)波形

圖3??? 開關(guān)電源的電壓模式控制反饋環(huán)路圖

??? 在已知環(huán)路其他部分的傳遞函數(shù)表達式后，即可設(shè)計電壓誤差放大器了。由于K_LC提供了一個零點和兩個諧振極點，因此，一般將E/A設(shè)計成PI調(diào)節(jié)器即可，K_EA=K_P(1＋ω_z/s)。其中ω_z用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，一般取為K_LC零極點的1/10以下；K_P用于使剪切頻率處的開環(huán)增益以－20dB/十倍頻穿越0dB線，相角裕量略小于90°。

??? VMC方法有以下缺點：

??? 1）沒有可預(yù)測輸入電壓影響的電壓前饋機制，對瞬變的輸入電壓響應(yīng)較慢，需要很高的環(huán)路增益；

??? 2）對由L和C產(chǎn)生的二階極點（產(chǎn)生180°的相移）沒有構(gòu)成補償，動態(tài)響應(yīng)較慢。

??? VMC的缺點可用下面將要介紹的CMC方法克服。

3??? 平均電流模式控制（Average? CMC）

??? 平均電流模式控制含有電壓外環(huán)和電流內(nèi)環(huán)兩個環(huán)路，如圖4所示。電壓環(huán)提供電感電流的給定，電流環(huán)采用誤差放大器對送入的電感電流給定（V_cv）和反饋信號（i_LR_s）之差進行比較、放大，得到的誤差放大器輸出V_c再和三角波V_s進行比較，最后即得控制占空比的開關(guān)信號。圖4中R_s為采樣電阻。對于一個設(shè)計良好的電流誤差放大器，V_c不會是一個直流量，當(dāng)開關(guān)導(dǎo)通時，電感電流上升，會導(dǎo)致V_c下降；開關(guān)關(guān)斷，電感電流下降時，會導(dǎo)致V_c上升。電流環(huán)的設(shè)計原則是，不能使V_c上升斜率超過三角波的上升斜率，兩者斜率相等時就是最優(yōu)。原因是：如果V_c上升斜率超過三角波的上升斜率，會導(dǎo)致V_c峰值超過V_s的峰值，在下個周波時V_c和V_s就可能不會相交，造成次諧波振蕩。

圖4??? 開關(guān)電源平均電流模式控制示意圖

??? 采用斜坡匹配的方法進行最優(yōu)設(shè)計后，PWM控制器的增益會隨占空比D的變化而變，如圖5所示。

圖5??? PWM控制器增益與占空比變化關(guān)系圖

??? 當(dāng)D很大時，較小的V_c會引起D較大的改變，而D較小時，即使V_c變化很大，D的改變也不大，即增益下降。所以有

??? d=D/V_s（17）

??? 不妨設(shè)電壓環(huán)帶寬遠低于電流環(huán)，則在分析電流環(huán)時V_cv為常數(shù)。當(dāng)V_c的上升斜率等于三角波斜率時，在開關(guān)頻率f_s處,電流誤差放大器的增益G_CA為

??? G_CA=G_CA(V_o/L)R_s=V_sf_s（18）

??? G_CA=/(R_s)=V_sf_sL/(U_oR_s)（19）

高頻下，將式（14）分子中的“1”和分母中的低階項忽略，并化簡，得

??? (s)=??? （20）

由式（17）及式（20）有

??? ==??? （21）

將式（19）與式（21）相乘，得整個電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

??? ·=??? （22）

??? 將s=2πf_c代入上式，并令上式等于1時，可得環(huán)路的剪切頻率f_c=f_s/(2π)。因此，可將電流環(huán)等效為延時時間常數(shù)為一個開關(guān)周期的純慣性環(huán)節(jié)，如圖6所示。

圖6??? 電流環(huán)的傳遞函數(shù)示意圖

??? 顯然，當(dāng)電流誤差放大器的增益G_CA小于最優(yōu)值時，電流響應(yīng)的延時將會更長。

??? G_CA中一般要在f_s處或更高頻處形成一個高頻極點，以使f_s以后的電流環(huán)開環(huán)增益以－40dB/dec的斜率下降，這樣雖然使相角裕量稍變小，但可以消除電流反饋波形上的高頻毛刺的影響，提高電流環(huán)的抗干擾能力。低頻下一般要加一個零點，使電流環(huán)開環(huán)增益變大，減小穩(wěn)態(tài)誤差。

??? 整個環(huán)路的結(jié)構(gòu)如圖7所示。其中K_EA，K_FB定義如前?？梢娤鄬MC而言（參見圖3），平均CMC消除了原來由濾波電感引起的極點（新增極點f_s很大，對電壓環(huán)影響很?。瑢h(huán)路校正成了一階系統(tǒng),電壓環(huán)增益可以保持恒定，不隨輸入電壓V_in而變，外環(huán)設(shè)計變得更加容易。

圖7??? 電壓外環(huán)反饋環(huán)路圖

4??? 峰值電流模式控制（Peak? CMC）

??? 平均CMC由于要采樣濾波電感的電流，有時顯得不太方便，因此，實踐中經(jīng)常采用一種變通的電流模式控制方法，即峰值CMC，如圖8所示。電壓外環(huán)輸出控制量（V_c）和由電感電流上升沿形成的斜坡波形(V_s)通過電壓比較器進行比較后，直接得到開關(guān)管的關(guān)斷信號（開通信號由時鐘自動給出），因此，電壓環(huán)的輸出控制量是電感電流的峰值給定量，由電感電流峰值控制占空比。

圖8??? 峰值電流模式控制示意圖

??? 峰值CMC控制的是電感電流的峰值，而不是電感電流（經(jīng)濾波后即負載電流），而峰值電流和平均電流之間存在誤差，因此，峰值CMC性能不如平均CMC。一般滿載時電感電流在導(dǎo)通期間的電流增量設(shè)計為額定電流的10％左右，因此，最好情況下峰值電感電流和平均值之間的誤差也有5％，負載越輕誤差越大，特別是進入不連續(xù)電流（DCM）工作區(qū)后誤差將超過100％，系統(tǒng)有時可能會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。在剪切頻率f_c以下，由圖6可知平均CMC的電流環(huán)開環(huán)增益可升到很高（可以>1000），電流可完全得到控制，但峰值CMC的電流環(huán)開環(huán)增益只能保持在10以內(nèi)不變（峰值電流和平均值之間的誤差引起），因此，峰值CMC更適用于滿載場合。

??? 峰值CMC的缺點還包括對噪音敏感，需要進行斜坡補償解決次諧波振蕩等問題。但由于峰值CMC存在逐周波限流等特有的優(yōu)點，且容易通過脈沖電流互感器等簡單辦法復(fù)現(xiàn)電感電流峰值，因此，它在Buck電路中仍然得到了廣泛應(yīng)用。

5??? 結(jié)語

??? 采用平均狀態(tài)方程的方法可以得到Buck電路的小信號頻域模型，并可依此進行環(huán)路設(shè)計。電壓模式控制、平均電流模式控制和峰值電流模式控制方法均可用來進行環(huán)路設(shè)計，各有其優(yōu)缺點，適用的范圍也不盡相同。