在本文中，您會(huì)發(fā)現(xiàn)重點(diǎn)關(guān)注串聯(lián)電感器，其中介紹了由串聯(lián)電感器和并聯(lián)電容器組成的梯形低通濾波器結(jié)構(gòu)。

對(duì)于沒有互通量耦合的串聯(lián)電感，其電氣效應(yīng)類似于串聯(lián)電阻，各個(gè)電感值簡(jiǎn)單地相加。

圖 1. 串聯(lián)電感的等效電感。圖片由 Blaine Geddes 提供

推導(dǎo)

串聯(lián)電感的等效電感很容易從第一原理（基本電路理論）推導(dǎo)出來(lái)，如圖 2 所示。電感的特點(diǎn)是其兩端產(chǎn)生的電壓是其自感和流過(guò)它的電流的變化。由于公共電流流過(guò)該串聯(lián)電路的所有元件，因此所有串聯(lián)元件的電流變化率相同。共同的 di/dt 項(xiàng)抵消，導(dǎo)致等效電感是各個(gè)電感的總和。

圖 2. 串聯(lián)電感等效電感的推導(dǎo)。圖片由 Blaine Geddes 提供

LR電路的時(shí)間常數(shù)

在這篇 EE Power文章中，展示了圖 3 的基本示例電路，其微分方程的解被發(fā)現(xiàn)為：

i=VR?VRe?RtLi=VR?VRe?RtL［1］

在時(shí)間 t=0 時(shí)，開關(guān)閉合，但 i = 0，因?yàn)殡姼衅骺雌饋?lái)像一個(gè)無(wú)限阻抗，以響應(yīng)理想化的電流瞬時(shí)增加。由于理想電感器在零頻率下沒有阻抗，因此電流根據(jù)指數(shù)函數(shù)斜升以在直流電路的 V/R 值處達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。方程［1］的微分方程滿足這些邊界條件。

表征基本 RL 或 RC 電路的常用參數(shù)是其時(shí)間常數(shù)，其定義為某個(gè)量達(dá)到其最終值的 1/e 以內(nèi)的值或最終值的約 63% 的時(shí)間。對(duì)于等式 ［1］，電流的指數(shù)上升如圖 4 所示，時(shí)間常數(shù)為 L/R。

圖 3. 帶有串聯(lián)電阻的電感器的直流瞬態(tài)分析。圖片由 Blaine Geddes 提供

圖 4. 等式 1 針對(duì) V=2、R=2、L=1 繪制。時(shí)間常數(shù)為 L/R = 0.5。圖片由 Blaine Geddes 提供

串聯(lián)電感的應(yīng)用

串聯(lián)電感最常用于限制浪涌電流，例如電機(jī)啟動(dòng)的浪涌電流，以抑制高頻信號(hào)，例如，抑制高頻開關(guān)信號(hào)泄漏到電源軌上，或用作扼流圈限制來(lái)自整流交流電的直流電源的紋波。電感器還用于調(diào)諧電路、集總元件濾波器設(shè)計(jì)和阻抗匹配，以消除離散頻率下的容抗。

電感器是一種有效的電流浪涌抑制器，因?yàn)樗鼤?huì)在其兩端產(chǎn)生一個(gè)電壓，該電壓與流過(guò)它的電流變化率成正比。因此，電流的瞬時(shí)變化與趨于無(wú)窮大的反電動(dòng)勢(shì)相反。電感器的理想模型是它代表電流瞬時(shí)變化的開路。在現(xiàn)實(shí)世界中，零時(shí)間間隔內(nèi)什么都沒有發(fā)生，所以即使是理想的電感器也不能在實(shí)際電路中產(chǎn)生無(wú)限大的電壓，但如果突然中斷通過(guò)電感器的大穩(wěn)態(tài)電流，它可以產(chǎn)生非常高的電壓。

過(guò)濾器

電感器和電容器可以組合形成一個(gè)基本濾波器。濾波器在整個(gè)電氣工程中都很重要，并且大量用于通信電路，尤其是無(wú)線電。盡管隨著通信電子設(shè)備越來(lái)越多地轉(zhuǎn)向數(shù)字領(lǐng)域，模擬集總元件濾波器的重要性正在減弱，但模擬濾波器仍然很重要。濾波器還用于音頻電路、控制系統(tǒng)和電源，用于過(guò)濾紋波和諧波。

一個(gè)簡(jiǎn)單的兩元件低通濾波器及其傳遞函數(shù)的推導(dǎo)如圖 5 所示。交換電感器和電容器的位置會(huì)產(chǎn)生高通響應(yīng)。

圖 5. 兩元件 LC 低通濾波器及其傳遞函數(shù)。圖片由 Blaine Geddes 提供

繪制圖 5 的電壓傳遞函數(shù)與頻率的關(guān)系圖可得到圖 6 的代表性圖，其中 R、L 和 C 均設(shè)置為 1。生成該圖的代碼如下所示：

C=1；

Rl=1；

Rs=1；

L=1；

j=sqrt（-1）;

f=0.01:0.01:1；

Zl = 1./（j.*2.*pi.*f.*C + 1./Rl）;

Z = Rs + j.*2.*pi.*f.*L + Zl；

vl_vs = 20.*log10（abs（Zl./Z））+6;

情節(jié)（f，vl_vs）；

網(wǎng)格

xlabel（‘頻率 （Hz）’）

ylabel（‘幅度響應(yīng)（dB）’）

圖 6. 圖 5 的二元低通濾波器傳遞函數(shù)的幅度響應(yīng)。圖片由 Blaine Geddes 提供

具有串聯(lián)電感器和并聯(lián)電容器的基本兩元件低通 LC 濾波器的概念可以擴(kuò)展到圖 7 的標(biāo)準(zhǔn)梯形結(jié)構(gòu)。

圖 7. 低通 LC 梯形網(wǎng)絡(luò)。圖片由 Blaine Geddes 提供

分析集總元素梯形網(wǎng)絡(luò)原則上很簡(jiǎn)單，但是對(duì)于多個(gè)元素，代數(shù)很快就會(huì)變得笨拙。除了幾個(gè)元素之外，手動(dòng)計(jì)算將變得不切實(shí)際，但基本代數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)單且易于編程。上面顯示的基本 MATLAB 代碼可以很容易地?cái)U(kuò)展，以繪制更大梯形結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。MATLAB 等數(shù)學(xué)軟件可以通過(guò)隱式完成極坐標(biāo)到矩形的轉(zhuǎn)換來(lái)處理復(fù)數(shù)，從而簡(jiǎn)化了代碼。合成梯形結(jié)構(gòu)以產(chǎn)生特定響應(yīng)在數(shù)學(xué)上涉及更多，并且遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了本文的范圍，但濾波器對(duì)于電氣工程來(lái)說(shuō)是如此的基礎(chǔ)，以至于該主題已經(jīng)通過(guò)關(guān)于該主題的整篇文章進(jìn)行了很好的研究。

對(duì)于圖 7 的梯形結(jié)構(gòu)，通常實(shí)現(xiàn)兩種標(biāo)準(zhǔn)濾波器類型。這些被稱為巴特沃斯和切比雪夫（或切比雪夫）濾波器。巴特沃斯濾波器響應(yīng)的特點(diǎn)是通帶響應(yīng)基本平坦，但在通帶上限處有一些衰減。Chebyschev 濾波器的特點(diǎn)是滾降比 Butterworth 濾波器更陡峭，但其代價(jià)是通帶中的紋波，紋波幅度取決于所選的組件值。隨著頻率的增加，兩種濾波器類型都提供單調(diào)增加的衰減。

濾波器表可用于濾波器設(shè)計(jì)，其中針對(duì)給定濾波器階數(shù)和最大通帶衰減選擇列出歸一化組件值。通帶中的最大衰減位于巴特沃斯濾波器的上通帶邊緣，并且在切比雪夫?yàn)V波器的通帶中表現(xiàn)為波紋。這樣的一組表格在參考文獻(xiàn) 1 中公布。元件值被歸一化為一些源電阻和截止頻率。對(duì)于參考表 1，這是 1 Hz 和 1 ohm。任何其他截止頻率 （F ref ） 和源電阻 （R ref ） 的分量值通過(guò)縮放獲得，其中：

L參考= R參考/2πF參考

Cref = 1/（2πF參考 R參考）

然后將每個(gè)列表組件值乘以 L ref 或 C ref 以獲得各自的實(shí)際 L 和 C 值。

通過(guò)交換梯形結(jié)構(gòu)中的電感器和電容器，可以將低通濾波器的列表值用于具有反向頻率響應(yīng)的等效高通濾波器。

第三種標(biāo)準(zhǔn)濾波器響應(yīng)是橢圓濾波器的響應(yīng)。與 Chebyshev 和 Butterworth 低通濾波器隨著頻率的增加而單調(diào)增加的衰減行為不同，橢圓濾波器的特征在于阻帶衰減本底，在通帶和阻帶中都有紋波。橢圓濾波器的優(yōu)點(diǎn)是它為給定的濾波器階數(shù)提供最陡峭的滾降。代價(jià)是一個(gè)更復(fù)雜的濾波器結(jié)構(gòu)，其中圖 7 的基本低通階梯被修改為圖 8 或圖 9 的。與切比雪夫和巴特沃斯濾波器一樣，將參考低通橢圓濾波器轉(zhuǎn)換為等效高通濾波器需要互換L 和 C 分量。

圖 8. 用于實(shí)現(xiàn)橢圓響應(yīng)的低通集總元件濾波器結(jié)構(gòu)。圖片由 Blaine Geddes 提供

圖 9. 用于實(shí)現(xiàn)橢圓響應(yīng)的替代低通集總元件濾波器結(jié)構(gòu)。圖片由 Blaine Geddes 提供

對(duì)于任何濾波器設(shè)計(jì)，元件靈敏度分析都是一項(xiàng)重要的工作，以確保濾波器響應(yīng)不會(huì)受到元件容差的過(guò)度影響。在高頻下，組件寄生效應(yīng)和軌道長(zhǎng)度變得顯著。如這篇 EE Power文章中所述，片式電感器在某些頻率下會(huì)變成電容器。