梯度下降算法的公式非常簡(jiǎn)單，”沿著梯度的反方向（坡度最陡）“是我們?nèi)粘＝?jīng)驗(yàn)得到的，其本質(zhì)的原因到底是什么呢？為什么局部下降最快的方向就是梯度的負(fù)方向呢？也許很多朋友還不太清楚。沒(méi)關(guān)系，接下來(lái)我將以通俗的語(yǔ)言來(lái)詳細(xì)解釋梯度下降算法公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程。

下山問(wèn)題

假設(shè)我們位于黃山的某個(gè)山腰處，山勢(shì)連綿不絕，不知道怎么下山。于是決定走一步算一步，也就是每次沿著當(dāng)前位置最陡峭最易下山的方向前進(jìn)一小步，然后繼續(xù)沿下一個(gè)位置最陡方向前進(jìn)一小步。這樣一步一步走下去，一直走到覺(jué)得我們已經(jīng)到了山腳。這里的下山最陡的方向就是梯度的負(fù)方向。

首先理解什么是梯度？通俗來(lái)說(shuō)，梯度就是表示某一函數(shù)在該點(diǎn)處的方向?qū)?shù)沿著該方向取得最大值，即函數(shù)在當(dāng)前位置的導(dǎo)數(shù)。

上式中，θ是自變量，f(θ)是關(guān)于θ的函數(shù)，θ表示梯度。

如果函數(shù)f(θ)是凸函數(shù)，那么就可以使用梯度下降算法進(jìn)行優(yōu)化。梯度下降算法的公式我們已經(jīng)很熟悉了：

其中，θo是自變量參數(shù)，即下山位置坐標(biāo)，η是學(xué)習(xí)因子，即下山每次前進(jìn)的一小步（步進(jìn)長(zhǎng)度），θ是更新后的θo，即下山移動(dòng)一小步之后的位置。

一階泰勒展開(kāi)式

這里需要一點(diǎn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對(duì)泰勒展開(kāi)式有些了解。簡(jiǎn)單地來(lái)說(shuō)，一階泰勒展開(kāi)式利用的就是函數(shù)的局部線性近似這個(gè)概念。我們以一階泰勒展開(kāi)式為例：

不懂上面的公式？沒(méi)有關(guān)系。我用下面這張圖來(lái)解釋。

凸函數(shù)f(θ)的某一小段[θo,θ]由上圖黑色曲線表示，可以利用線性近似的思想求出f(θ)的值，如上圖紅色直線。該直線的斜率等于f(θ)在θo處的導(dǎo)數(shù)。則根據(jù)直線方程，很容易得到f(θ)的近似表達(dá)式為：

這就是一階泰勒展開(kāi)式的推導(dǎo)過(guò)程，主要利用的數(shù)學(xué)思想就是曲線函數(shù)的線性擬合近似。

梯度下降數(shù)學(xué)原理

知道了一階泰勒展開(kāi)式之后，接下來(lái)就是重點(diǎn)了！我們來(lái)看一下梯度下降算法是如何推導(dǎo)的。

先寫出一階泰勒展開(kāi)式的表達(dá)式：

其中，θ?θo是微小矢量，它的大小就是我們之前講的步進(jìn)長(zhǎng)度η，類比于下山過(guò)程中每次前進(jìn)的一小步，η為標(biāo)量，而θ?θo的單位向量用v表示。則θ?θo可表示為：

特別需要注意的是，θ?θo不能太大，因?yàn)樘蟮脑?，線性近似就不夠準(zhǔn)確，一階泰勒近似也不成立了。替換之后，f(θ)的表達(dá)式為：

重點(diǎn)來(lái)了，局部下降的目的是希望每次θ更新，都能讓函數(shù)值f(θ)變小。也就是說(shuō)，上式中，我們希望f(θ)