C語言中要求平方根,可以在頭文件中加入#include .然后調(diào)用sqrt(n);函數(shù)即可。但在單片機(jī)中調(diào)用此函數(shù)無疑會(huì)耗費(fèi)大量資源和時(shí)間，是極不合適的。在此，總結(jié)下網(wǎng)上常見的四種單片機(jī)常用開方根算法：

對(duì)于擁有專門的乘除法指令的單片機(jī)，可采用以下兩種方法：

1、二分法

對(duì)于一個(gè)非負(fù)數(shù)n，它的平方根不會(huì)小于大于（n/2+1）（謝謝@linzhi-cs提醒）。在[0, n/2+1]這個(gè)范圍內(nèi)可以進(jìn)行二分搜索，求出n的平方根。

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1 int sqrt(int x) { 2 long long i = 0; 3 long long j = x / 2 + 1; 4 while (i <= j) 5 { 6 long long mid = (i + j) / 2; 7 long long sq = mid * mid; 8 if (sq == x) return mid; 9 else if (sq < x) i = mid + 1;10 else j = mid - 1;11 }12 return j;13 }

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2、更為常用的牛頓迭代法

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1 int sqrt(int x) { 2 if (x == 0) return 0; 3 double last = 0; 4 double res = 1; 5 while (res != last) 6 { 7 last = res; 8 res = (res + x / res) / 2; 9 }10 return int(res);11 }

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牛頓迭代法也可以求解多次方程。

對(duì)于不帶乘除法指令的單片機(jī)，可采取以下兩種算法：

算法3:

本算法只采用移位、加減法、判斷和循環(huán)實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樗恍枰↑c(diǎn)運(yùn)算，也不需要乘除運(yùn)算，因此可以很方便地運(yùn)用到各種芯片上去。

我們先來看看10進(jìn)制下是如何手工計(jì)算開方的：

先看下面兩個(gè)算式：

x = 10*p + q (1)

公式(1)左右平方之后得：

x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)

現(xiàn)在假設(shè)我們知道x^2和p，希望求出q來，求出了q也就求出了x^2的開方x了。

我們把公式(2)改寫為如下格式：

q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)

這個(gè)算式左右都有q，因此無法直接計(jì)算出q來，因此手工的開方算法和手工除法算法一樣有一步需要猜值。

我們來一個(gè)手工計(jì)算的例子：計(jì)算1234567890的開方

首先我們把這個(gè)數(shù)兩位兩位一組分開，計(jì)算出最高位為3。也就是(3)中的p，最下面一行的334為余數(shù)，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值

3 --------------- | 12 34 56 78 90 9 --------------- | 3 34

下面我們要找到一個(gè)0-9的數(shù)q使它最接近滿足公式(3)。我們先把p乘以20寫在334左邊：

3 q --------------- | 12 34 56 78 90 9 --------------- 6q| 3 34

我們看到q為5時(shí)(60+q*q)的值最接近334，而且不超過334。于是我們得到：

3 5 --------------- | 12 34 56 78 90 9 --------------- 65| 3 34 | 3 25 --------------- 9 56

接下來就是重復(fù)上面的步驟了，這里就不再啰嗦了。

這個(gè)手工算法其實(shí)和10進(jìn)制關(guān)系不大，因此我們可以很容易的把它改為二進(jìn)制，改為二進(jìn)制之后，公式(3)就變成了：

q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)

我們來看一個(gè)例子，計(jì)算100(二進(jìn)制1100100)的開方：

1 0 1 0 --------------- | 1 10 01 00 1 --------------- 100| 0 10 | 0 00 --------------- | 10 011001| 10 01 --------------- 0 00

這里每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移兩位，而由于q的值只能為0或者1，所以我們只需要判斷余數(shù)(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小關(guān)系，如果余數(shù)大于等于(4*p+q)那么該上一個(gè)1，否則該上一個(gè)0。

下面給出完成的C語言程序，其中root表示p，rem表示每步計(jì)算之后的余數(shù)，divisor表示(4*p+1)，通過a>>30取a的最高 2位，通過a<<=2將計(jì)算后的最高2位剔除。其中root的兩次<<1相當(dāng)于4*p。程序完全是按照手工計(jì)算改寫的，應(yīng)該不難理解。

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unsigned short sqrt(unsigned long a){?unsigned long rem = 0;?unsigned long root = 0;?unsigned long divisor = 0;?for(int i=0; i<16; i++){?root <<= 1;?rem = ((rem << 2) + (a >> 30));?a <<= 2;?divisor = (root<<1) + 1;?if(divisor <= rem){?rem -= divisor;?root++;?}?}return (unsigned short)(root);?}

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算法4

這種方法比牛頓迭代法更加快速的方法。

1.原理

下述用pow(X,Y)表示X的Y次冪，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一個(gè)序列，

其中[x]為下標(biāo)。

假設(shè)：

B[x],b[x]都是二進(jìn)制序列,取值0或1。

1、 M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow

(2,0)

2、 N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow

(2,0)

3、 pow(N,2) = M

(1) N的最高位b[n-1]可以根據(jù)M的最高位B[m-1]直接求得。

設(shè) m 已知,因?yàn)?pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <=

pow(2, m/2)

如果 m 是奇數(shù)，設(shè)m=2*k+1,

那么 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),

n-1=k, n=k+1=(m+1)/2

如果 m 是偶數(shù)，設(shè)m=2k,

那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),

n-1=k-1,n=k=m/2

所以b[n-1]完全由B[m-1]決定。

余數(shù) M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)

(2) N的次高位b[n-2]可以采用試探法來確定。

因?yàn)閎[n-1]=1，假設(shè)b[n-2]=1，則 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2),

2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),

然后比較余數(shù)M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。這種

比較只須根據(jù)B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判斷，其余低位不做比較。

若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設(shè)有效，b[n-2] =

1；

余數(shù) M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -

(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；

若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設(shè)無效，b[n-2] =

0；余數(shù) M[2] = M[1]。

(3) 同理，可以從高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。

使用這種算法計(jì)算32位數(shù)的平方根時(shí)最多只須比較16次，而且每次比較時(shí)不必把M的各位逐

一比較，尤其是開始時(shí)比較的位數(shù)很少，所以消耗的時(shí)間遠(yuǎn)低于牛頓迭代法。

2. 實(shí)現(xiàn)代碼

這里給出實(shí)現(xiàn)32位無符號(hào)整數(shù)開方得到16位無符號(hào)整數(shù)的C語言代碼。

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/****************************************/ /*Function: 開根號(hào)處理 */ /*入口參數(shù)：被開方數(shù)，長整型 */ /*出口參數(shù)：開方結(jié)果，整型 */ /****************************************/ unsigned int sqrt_16(unsigned long M)?{?unsigned int N, i;?unsigned long tmp, ttp; // 結(jié)果、循環(huán)計(jì)數(shù)?if (M == 0) // 被開方數(shù)，開方結(jié)果也為0?return 0;?N = 0;?tmp = (M >> 30); // 獲取最高位：B[m-1]?M <<= 2;?if (tmp > 1) // 最高位為1?{?N ++; // 結(jié)果當(dāng)前位為1，否則為默認(rèn)的0?tmp -= N;?}?for (i=15; i>0; i--) // 求剩余的15位?{?N <<= 1; // 左移一位?tmp <<= 2;?tmp += (M >> 30); // 假設(shè)?ttp = N;?ttp = (ttp<<1)+1;?M <<= 2;?if (tmp >= ttp) // 假設(shè)成立?{?tmp -= ttp;?N ++;?}?}?return N;?}

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以上算法結(jié)尾網(wǎng)上收集所得，雖然原理可能比較難懂，但都可在單片機(jī)中實(shí)際運(yùn)用。