算法（Algorithm）：計(jì)算機(jī)解題的基本思想方法和步驟。

算法的描述：是對(duì)要解決一個(gè)問題或要完成一項(xiàng)任務(wù)所采取的方法和步驟的描述，包括需要什么數(shù)據(jù)（輸入什么數(shù)據(jù)、輸出什么結(jié)果）、采用什么結(jié)構(gòu)、使用什么語(yǔ)句以及如何安排這些語(yǔ)句等。通常使用自然語(yǔ)言、結(jié)構(gòu)化流程圖、偽代碼等來描述算法。

一、計(jì)數(shù)、求和、求階乘等簡(jiǎn)單算法?

此類問題都要使用循環(huán)，要注意根據(jù)問題確定循環(huán)變量的初值、終值或結(jié)束條件，更要注意用來表示計(jì)數(shù)、和、階乘的變量的初值。

例：用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生100個(gè)[0，99]范圍內(nèi)的隨機(jī)整數(shù)，統(tǒng)計(jì)個(gè)位上的數(shù)字分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的數(shù)的個(gè)數(shù)并打印出來。

本題使用數(shù)組來處理，用數(shù)組a[100]存放產(chǎn)生的確100個(gè)隨機(jī)整數(shù)，數(shù)組x[10]來存放個(gè)位上的數(shù)字分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的數(shù)的個(gè)數(shù)。即個(gè)位是1的個(gè)數(shù)存放在x[1]中，個(gè)位是2的個(gè)數(shù)存放在x[2]中，……個(gè)位是0的個(gè)數(shù)存放在x[10]。
?

?

void main()
{
int a[101],x[11],i,p;
for(i=0;i<=11;i++)
x=0;
for(i=1;i<=100;i++)
{
a=rand() % 100;
printf("%4d",a);
if(i%10==0)printf("
");
}
for(i=1;i<=100;i++)
{
p="a"%10;
if(p==0) p="10";
x[p]=x[p]+1;
}
for(i=1;i<=10;i++)
{
p="i";
if(i==10) p="0";
printf("%d,%d
",p,x);
}
printf("
");
}

二、求兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)?

分析：求最大公約數(shù)的算法思想：(最小公倍數(shù)=兩個(gè)整數(shù)之積/最大公約數(shù))

(1) 對(duì)于已知兩數(shù)m，n，使得m>n；

(2) m除以n得余數(shù)r；

(3) 若r=0，則n為求得的最大公約數(shù)，算法結(jié)束；否則執(zhí)行(4)；

(4) m←n，n←r，再重復(fù)執(zhí)行(2)。

例如: 求 m="14" ,n=6 的最大公約數(shù).
m n r

14 6 2

6 2 0
?

?

void main()
{ int nm,r,n,m,t;
printf("please input two numbers:
");
scanf("%d,%d",&m,&n);
nm=n*m;
if (m
{ t="n"; n="m"; m="t"; }
r=m%n;
while (r!=0)
{ m="n"; n="r"; r="m"%n; }
printf("最大公約數(shù):%d
",n);
printf("最小公倍數(shù):%d
",nm/n);
}

三、判斷素?cái)?shù)

只能被1或本身整除的數(shù)稱為素?cái)?shù) 基本思想：把m作為被除數(shù)，將2—INT（ ）作為除數(shù)，如果都除不盡，m就是素?cái)?shù)，否則就不是。（可用以下程序段實(shí)現(xiàn)）

?

void main()
{ int m,i,k;
printf("please input a number:
");
scanf("%d",&m);
k=sqrt(m);
for(i=2;i
if(m%i==0) break;
if(i>=k)
printf("該數(shù)是素?cái)?shù)");
else
printf("該數(shù)不是素?cái)?shù)");
}
將其寫成一函數(shù),若為素?cái)?shù)返回1，不是則返回0
int prime( m%)
{int i,k;
k=sqrt(m);
for(i=2;i
if(m%i==0) return 0;
return 1;
}

?

四、驗(yàn)證哥德巴赫猜想?

（任意一個(gè)大于等于6的偶數(shù)都可以分解為兩個(gè)素?cái)?shù)之和）

基本思想：n為大于等于6的任一偶數(shù)，可分解為n1和n2兩個(gè)數(shù)，分別檢查n1和n2是否為素?cái)?shù)，如都是，則為一組解。如n1不是素?cái)?shù)，就不必再檢查n2是否素?cái)?shù)。先從n1=3開始，檢驗(yàn)n1和n2（n2=N-n1）是否素?cái)?shù)。然后使n1+2 再檢驗(yàn)n1、n2是否素?cái)?shù)，… 直到n1=n/2為止。

利用上面的prime函數(shù)，驗(yàn)證哥德巴赫猜想的程序代碼如下：

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#include "math.h"
int prime(int m)
{ int i,k;
k=sqrt(m);
for(i=2;i
if(m%i==0) break;
if(i>=k)
return 1;
else
return 0;
}
main()
{ int x,i;
printf("please input a even number(>=6):
");
scanf("%d",&x);
if (x<6||x%2!=0)
printf("data error!
");
else
for(i=2;i<=x/2;i++)
if (prime(i)&&prime(x-i))
{
printf("%d+%d
",i,x-i);
printf("驗(yàn)證成功!");
break;
}
}

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五、排序問題?

1．選擇法排序（升序）

基本思想：

1）對(duì)有n個(gè)數(shù)的序列（存放在數(shù)組a(n)中），從中選出最小的數(shù)，與第1個(gè)數(shù)交換位置；

2）除第1 個(gè)數(shù)外，其余n-1個(gè)數(shù)中選最小的數(shù)，與第2個(gè)數(shù)交換位置；

3）依次類推，選擇了n-1次后，這個(gè)數(shù)列已按升序排列。

程序代碼如下：

?

void main()
{ int i,j,imin,s,a[10];
printf("
 input 10 numbers:
");
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&a);
for(i=0;i<9;i++)
{ imin="i";
for(j=i+1;j<10;j++)
if(a[imin]>a[j]) imin="j";
if(i!=imin)
{s=a; a=a[imin]; a[imin]=s; }
printf("%d
",a);
}
}

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2．冒泡法排序（升序）?

基本思想：(將相鄰兩個(gè)數(shù)比較，小的調(diào)到前頭)

1）有n個(gè)數(shù)（存放在數(shù)組a(n)中），第一趟將每相鄰兩個(gè)數(shù)比較，小的調(diào)到前頭，經(jīng)n-1次兩兩相鄰比較后，最大的數(shù)已“沉底”，放在最后一個(gè)位置，小數(shù)上升“浮起”；

2）第二趟對(duì)余下的n-1個(gè)數(shù)（最大的數(shù)已“沉底”）按上法比較，經(jīng)n-2次兩兩相鄰比較后得次大的數(shù)；

3）依次類推，n個(gè)數(shù)共進(jìn)行n-1趟比較，在第j趟中要進(jìn)行n-j次兩兩比較。

程序段如下

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void main()
{ int a[10];
int i,j,t;
printf("input 10 numbers
");
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&a);
printf("
");
for(j=0;j<=8;j++)
for(i=0;i<9-j;i++)
if(a>a[i+1])
{t=a;a=a[i+1];a[i+1]=t;}
printf("the sorted numbers:
");
for(i=0;i<10;i++)
printf("%d
",a);
}

?

3．合并法排序（將兩個(gè)有序數(shù)組A、B合并成另一個(gè)有序的數(shù)組C，升序）?

基本思想：

1）先在A、B數(shù)組中各取第一個(gè)元素進(jìn)行比較，將小的元素放入C數(shù)組；

2）取小的元素所在數(shù)組的下一個(gè)元素與另一數(shù)組中上次比較后較大的元素比較，重復(fù)上述比較過程，直到某個(gè)數(shù)組被先排完；

3）將另一個(gè)數(shù)組剩余元素抄入C數(shù)組，合并排序完成。

程序段如下：

?

void main()
{ int a[10],b[10],c[20],i,ia,ib,ic;
printf("please input the first array:
");
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&a);
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&b);
printf("
");
ia=0;ib=0;ic=0;
while(ia<10&&ib<10)
{ if(a[ia]
{ c[ic]=a[ia];ia++;}
else
{ c[ic]=b[ib];ib++;}
ic++;
}
while(ia<=9)
{ c[ic]=a[ia];
ia++;ic++;
}
while(ib<=9)
{ c[ic]=b[ib];
b++;ic++;
}
for(i=0;i<20;i++)
printf("%d
",c);
}

?

六、查找問題?

① 順序查找法（在一列數(shù)中查找某數(shù)x）?

基本思想：一列數(shù)放在數(shù)組a[1]---a[n]中，待查找的數(shù)放在x 中，把x與a數(shù)組中的元素從頭到尾一一進(jìn)行比較查找。用變量p表示a數(shù)組元素下標(biāo)，p初值為1，使x與a[p]比較，如果x不等于a[p]，則使p=p+1，不斷重復(fù)這個(gè)過程；一旦x等于a[p]則退出循環(huán)；另外，如果p大于數(shù)組長(zhǎng)度，循環(huán)也應(yīng)該停止。（這個(gè)過程可由下語(yǔ)句實(shí)現(xiàn)）

?

void main()
{ int a[10],p,x,i;
printf("please input the array:
");
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&a);
printf("please input the number you want find:
");
scanf("%d",&x);
printf("
");
p=0;
while(x!=a[p]&&p<10)
p++;
if(p>=10)
printf("the number is not found!
");
else
printf("the number is found the no%d!
",p);
}

?

思考：將上面程序改寫一查找函數(shù)Find，若找到則返回下標(biāo)值，找不到返回-1

② 基本思想：一列數(shù)放在數(shù)組a[1]---a[n]中，待查找的關(guān)鍵值為key，把key與a數(shù)組中的元素從頭到尾一一進(jìn)行比較查找，若相同，查找成功，若找不到，則查找失敗。(查找子過程如下。index：存放找到元素的下標(biāo)。)

?

void main()
{ int a[10],index,x,i;
printf("please input the array:
");
for(i=0;i<10;i++)
scanf("%d",&a);
printf("please input the number you want find:
");
scanf("%d",&x);
printf("
");
index=-1;
for(i=0;i<10;i++)
if(x==a)
{ index="i"; break;
}
if(index==-1)
printf("the number is not found!
");
else
printf("the number is found the no%d!
",index);
}

?

七、二分法

在一個(gè)數(shù)組中，知道一個(gè)數(shù)值，想確定他在數(shù)組中的位置下標(biāo)，如數(shù)組：A[5] = {1，2，6，7，9};我知道其中的值為6，那么他的下標(biāo)位置就是3。

?

int Dichotomy(int *ucData, int long, int num)
{
int iDataLow  = 0 ;
int iDataHigh = num - 1;
int iDataMIDDLE;
while (iDataLow <= iDataHigh)
{
iDataMIDDLE = (iDataHigh + iDataLow)/2;
i f (ucData[iDataMIDDLE] > long)
{
iDataHigh = iDataMIDDLE - 1 ;
}
else if (ucData[iDataMIDDLE] < long)
{
iDataLow = iDataMIDDLE + 1 ;
}  else{
return iDataMIDDLE ;
}
}
}

?

八、限幅濾波法

對(duì)于隨機(jī)干擾 , 限幅濾波是一種有效的方法；

基本方法：比較相鄰n 和 n - 1時(shí)刻的兩個(gè)采樣值y(n)和 y(n – 1)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定兩次采樣允許的最大偏差。如果兩次采樣值的差值超過最大偏差范圍 ,認(rèn)為發(fā)生可隨機(jī)干擾 ,并認(rèn)為后一次采樣值y(n)為非法值 ,應(yīng)予刪除 ,刪除y(n)后 ,可用y(n – 1) 代替y(n)；若未超過所允許的最大偏差范圍 ,則認(rèn)為本次采樣值有效。

下面是限幅濾波程序：( A 值可根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整，value 為有效值 ,new_value 為當(dāng)前采樣值濾波程序返回有效的實(shí)際值 )

?

#define A 10
char value;
char filter()
{   char new_value;
new_value = get_ad();
if ( ( new_value - value > A ) || ( value - new_value > A ))  return value;
return new_value;
}

?

九、中位值濾波法

中位值濾波法能有效克服偶然因素引起的波動(dòng)或采樣不穩(wěn)定引起的誤碼等脈沖干擾；

對(duì)溫度 液位等緩慢變化的被測(cè)參數(shù)用此法能收到良好的濾波效果 ,但是對(duì)于流量壓力等快速變化的參數(shù)一般不宜采用中位值濾波法；

基本方法：對(duì)某一被測(cè)參數(shù)連續(xù)采樣 n次(一般 n 取奇數(shù)) ,然后再把采樣值按大小排列 ,取中間值為本次采樣值。

下面是中位值濾波程序：

?

#define N   11
char filter()
{  char value_buf[N]， count,i,j,temp;
for ( count=0;count
{  value_buf[count] = get_ad();    delay();   }
for (j=0;j
{  for (i=0;i
{  if ( value_buf>value_buf[i+1] )
{temp = value_buf; value_buf = value_buf[i+1]; value_buf[i+1] = temp;  }
}
}
return value_buf[(N-1)/2];
}

?

十.算術(shù)平均濾波法

算術(shù)平均濾波法適用于對(duì)一般的具有隨機(jī)干擾的信號(hào)進(jìn)行濾波。這種信號(hào)的特點(diǎn)是信號(hào)本身在某一數(shù)值范圍附近上下波動(dòng) ,如測(cè)量流量、 液位；

基本方法：按輸入的N 個(gè)采樣數(shù)據(jù) ,尋找這樣一個(gè) Y ,使得 Y 與各個(gè)采樣值之間的偏差的平方和最小。

編寫算術(shù)平均濾波法程序時(shí)嚴(yán)格注意:

一.為了加快數(shù)據(jù)測(cè)量的速度 ,可采用先測(cè)量數(shù)據(jù) 存放在存儲(chǔ)器中 ,測(cè)完 N 點(diǎn)后 ,再對(duì) N 個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行平均值計(jì)算;

二.選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)格式 ,也就是說采用定點(diǎn)數(shù)還是采用浮點(diǎn)數(shù)。其程序如下所示：

?

#define N 12
char filter()
{int   sum = 0，count;
for ( count=0;count
{  sum+=get_ad();    delay();}
return (char)(sum/N);
}

?

十一、遞推平均濾波法

基本方法：采用隊(duì)列作為測(cè)量數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器 , ? 設(shè)隊(duì)列的長(zhǎng)度為 N ,每進(jìn)行一次測(cè)量 ,把測(cè)量結(jié)果放于隊(duì)尾 ,而扔掉原來隊(duì)首的一個(gè)數(shù)據(jù) ,這樣在隊(duì)列中始終就有 N 個(gè) “最新” 的數(shù)據(jù)。當(dāng)計(jì)算平均值時(shí) ,只要把隊(duì)列中的 N 個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行算數(shù)平均 ,就可得到新的算數(shù)平均值。這樣每進(jìn)行一次測(cè)量 ,就可得到一個(gè)新的算術(shù)平均值。

?

#define N 12
char value_buf[N]，i=0;
char filter()
{ char count; int   sum=0;
value_buf[i++] = get_ad();
if ( i == N )    i = 0;
for ( count=0;count
sum = value_buf[count];
return (char)(sum/N);
}

?

十二、一階滯后濾波法

優(yōu)點(diǎn)：對(duì)周期性干擾具有良好的抑制作用,適用于波動(dòng)頻率較高的場(chǎng)合；

缺點(diǎn)：相位滯后，靈敏度低.滯后程度取決于a值大小.不能消除濾波頻率高于采樣頻率的1/2的干擾信號(hào)。程序如下：

?

#define a 50
char value;
char filter()
{ char   new_value;
new_value = get_ad();
return (100-a)*value + a*new_value;
}

?

十三、PID控制算法

在過程控制中，按偏差的比例（P）、積分（I）和微分（D）進(jìn)行控制的PID控制器（亦稱PID調(diào)節(jié)器）是應(yīng)用最為廣泛的一種自動(dòng)控制器;

對(duì)于過程控制的典型對(duì)象──“一階滯后＋純滯后”與“二階滯后＋純滯后”的控制對(duì)象，PID控制器是一種最優(yōu)控制;

PID調(diào)節(jié)規(guī)律是連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)校正的一種有效方法，它的參數(shù)整定方式簡(jiǎn)便，結(jié)構(gòu)改變靈活（PI、PD、…）。

一? 模擬PID調(diào)節(jié)器

PID調(diào)節(jié)器各校正環(huán)節(jié)的作用：

比例環(huán)節(jié)：即時(shí)成比例地反應(yīng)控制系統(tǒng)的偏差信號(hào)e(t)，偏差一旦產(chǎn)生，調(diào)節(jié)器立即產(chǎn)生控制作用以減小偏差；

積分環(huán)節(jié)：主要用于消除靜差，提高系統(tǒng)的無差度。積分時(shí)間常數(shù)TI越大，積分作用越弱，反之則越強(qiáng)；

微分環(huán)節(jié)：能反應(yīng)偏差信號(hào)的變化趨勢(shì)(變化速率)，并能在偏差信號(hào)的值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個(gè)有效的早期修正信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減小調(diào)節(jié)時(shí)間。

PID調(diào)節(jié)器是一種線性調(diào)節(jié)器，它將給定值r(t)與實(shí)際輸出值c(t)的偏差的比例(P)、積分(I)、微分(D)通過線性組合構(gòu)成控制量，對(duì)控制對(duì)象進(jìn)行控制。

程序片段如下：

?

#include
#include
typedef struct PID {
double SetPoint;     // 設(shè)定目標(biāo)Desired value
double Proportion;    // 比例常數(shù)Proportional Const
double Integral;      // 積分常數(shù)Integral Const
double Derivative;    // 微分常數(shù)Derivative Const
double LastError;    // Error[-1]
double PrevError;    // Error[-2]
double SumError;   // Sums of Errors
} PID;

?

主程序：

?

double sensor (void)
{
return 100.0; }
void actuator(double rDelta)
{}
void main(void)
{
PID sPID;
double rOut;
double rIn;
PIDInit ( &sPID );
sPID.Proportion = 0.5；
sPID.Derivative = 0.0;
sPID.SetPoint = 100.0;
for (;;) {
rIn = sensor ();
rOut = PIDCalc ( &sPID,rIn );
actuator ( rOut );
}
}

?

十四、開根號(hào)算法

單片機(jī)開平方的快速算法

因?yàn)楣ぷ鞯男枰?，要在單片機(jī)上實(shí)現(xiàn)開根號(hào)的操作。目前開平方的方法大部分是用牛頓迭代法。我在查了一些資料以后找到了一個(gè)比牛頓迭代法更加快速的方法。不敢獨(dú)享，介紹給大家，希望會(huì)有些幫助。

1.原理

因?yàn)榕虐娴脑?，用pow(X,Y)表示X的Y次冪，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一個(gè)序列，其中[x]為下標(biāo)。

假設(shè)：

B[x],b[x]都是二進(jìn)制序列,取值0或1。

M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow(2,0)

N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow(2,0)

pow(N,2) = M

(1) N的最高位b[n-1]可以根據(jù)M的最高位B[m-1]直接求得。

設(shè) m 已知,因?yàn)?pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <= pow(2, m/2)

如果 m 是奇數(shù)，設(shè)m=2*k+1,

那么 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),

n-1=k, n=k+1=(m+1)/2

如果 m 是偶數(shù)，設(shè)m=2k,

那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),

n-1=k-1,n=k=m/2

所以b[n-1]完全由B[m-1]決定。

余數(shù) M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)

(2) N的次高位b[n-2]可以采用試探法來確定。

因?yàn)閎[n-1]=1，假設(shè)b[n-2]=1，則 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2), 2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),

然后比較余數(shù)M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。這種比較只須根據(jù)B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判斷，其余低位不做比較。

若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設(shè)有效，b[n-2] = 1；

余數(shù) M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] - (pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；

若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設(shè)無效，b[n-2] = 0；余數(shù) M[2] = M[1]。

(3) 同理，可以從高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。

使用這種算法計(jì)算32位數(shù)的平方根時(shí)最多只須比較16次，而且每次比較時(shí)不必把M的各位逐一比較，尤其是開始時(shí)比較的位數(shù)很少，所以消耗的時(shí)間遠(yuǎn)低于牛頓迭代法。

3. 實(shí)現(xiàn)代碼

這里給出實(shí)現(xiàn)32位無符號(hào)整數(shù)開方得到16位無符號(hào)整數(shù)的C語(yǔ)言代碼。
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/****************************************/
/*Function: 開根號(hào)處理                  */
/*入口參數(shù)：被開方數(shù)，長(zhǎng)整型            */
/*出口參數(shù)：開方結(jié)果，整型              */
/****************************************/
unsigned int sqrt_16(unsigned long M)
{
unsigned int N, i;
unsigned long tmp, ttp;   // 結(jié)果、循環(huán)計(jì)數(shù)
if (M == 0)               // 被開方數(shù)，開方結(jié)果也為0
return 0;
N = 0;
tmp = (M >> 30);          // 獲取最高位：B[m-1]
M <<= 2;
if (tmp > 1)              // 最高位為1
{
N ++;                 // 結(jié)果當(dāng)前位為1，否則為默認(rèn)的0
tmp -= N;
}
for (i=15; i>0; i--)      // 求剩余的15位
{
N <<= 1;              // 左移一位
tmp <<= 2;
tmp += (M >> 30);     // 假設(shè)
ttp = N;
ttp = (ttp<<1)+1;
M <<= 2;
if (tmp >= ttp)       // 假設(shè)成立
{
tmp -= ttp;
N ++;
}
}
return N;
}

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審核編輯：劉清