IIR數(shù)字濾波器設(shè)計-在FPGA上實現(xiàn)任意階IIR數(shù)字濾波器

摘 要：本文介紹了一種采用級聯(lián)結(jié)構(gòu)在FPGA上實現(xiàn)任意階IIR數(shù)字濾波器的方法。此設(shè)計擴(kuò)展性好，便于調(diào)節(jié)濾波器的性能，可以根據(jù)不同的要求在不同規(guī)模的FPGA上加以實現(xiàn)。

   IIR數(shù)字濾波器在很多領(lǐng)域中有著廣闊的應(yīng)用。與FIR數(shù)字濾波器相比，它可以用較低的階數(shù)獲得高選擇性，所用存儲單元少，經(jīng)濟(jì)而效率高，在相同門級規(guī)模和相同時鐘速度下可以提供更好的帶外衰減特性。下面介紹一種在FPGA上實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的方法。
   IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) 任意階的IIR濾波器可通過數(shù)學(xué)分解，表示為：
 
其中為如下的二階形式：
 
    這樣就可以將任意階的IIR濾波器通過若干二階網(wǎng)絡(luò)(也稱為濾波器的二階基本節(jié))級聯(lián)起來構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，代表第i級的二階網(wǎng)絡(luò)。
 
    對于每一個二階基本節(jié)，可以轉(zhuǎn)置直接II型結(jié)構(gòu)加以實現(xiàn)，如圖2所示。
 
    采用這種級聯(lián)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)IIR濾波器的優(yōu)點(diǎn)是每一個基本節(jié)只是關(guān)系到濾波器的某一對極點(diǎn)和一對零點(diǎn)，調(diào)整系數(shù)a0i、a1i、a2i，只單獨(dú)地調(diào)整了濾波器第i對零點(diǎn)而不影響其他任何零、極點(diǎn)。同樣，調(diào)整b1i、b2i系數(shù)、也只單獨(dú)調(diào)整了第i對極點(diǎn)。因此，這種結(jié)構(gòu)便于準(zhǔn)確地實現(xiàn)濾波器的零、極點(diǎn)，也便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)性能。這種結(jié)構(gòu)的另一個優(yōu)點(diǎn)是存儲單元需要較少，在硬件實現(xiàn)時，可以用一個二階節(jié)進(jìn)行時分復(fù)用，從而降低對FPGA硬件資源的要求。

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計
      利用MATLAB信號處理工具箱中的濾波器設(shè)計和分析工具(EDATool)可以很方便地設(shè)計出符合應(yīng)用要求的未經(jīng)量化的IIR濾波器。需要將MATLAB設(shè)計出的IIR濾波器進(jìn)一步分解和量化，從而獲得可用FPGA實現(xiàn)的濾波器系數(shù)。
     由于采用了級聯(lián)結(jié)構(gòu)，因此如何將濾波器的每一個極點(diǎn)和零點(diǎn)相組合，從而使得數(shù)字濾波器輸出所含的噪聲最小是個十分關(guān)鍵的問題。為了產(chǎn)生最優(yōu)的量化后的IIR數(shù)字濾波器，采用如下步驟進(jìn)行設(shè)計：

1. 首先計算整體傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)；
2. 選取具有最大幅度的極點(diǎn)以及距離它最近的零點(diǎn)，使用它們組成一個二階基本節(jié)的傳遞函數(shù)；
3. 對于剩下的極點(diǎn)和零點(diǎn)采用與(2)相類似的步驟，直至形成所有的二階基本節(jié)。

   通過上面三步法進(jìn)行的設(shè)計可以保證IIR數(shù)字濾波器中N位乘法器產(chǎn)生的量化舍入誤差最小。 為了設(shè)計出可用FPGA實現(xiàn)的數(shù)字濾波器，需要對上一步分解獲得的二階基本節(jié)的濾波器系數(shù)進(jìn)行量化，即用一個固定的字長加以表示。量化過程中由于存在不同程度的量化誤差，由此會導(dǎo)致濾波器的頻率響應(yīng)出現(xiàn)偏差，嚴(yán)重時會使IIR濾波器的極點(diǎn)移到單位圓之外，系統(tǒng)因而失去穩(wěn)定性。為了獲得最優(yōu)的濾波器系數(shù)，采用以下步驟進(jìn)行量化：

1. 計算每個系數(shù)的絕對值；
2. 查找出每個系數(shù)絕對值中的最大值；
3. 計算比此絕對值大的最小整數(shù)；
4. 對(3)的結(jié)果取反獲得負(fù)整數(shù)；
5. 計算需要表示此整數(shù)的最小位數(shù)；
6. 計算用于表示系數(shù)值分?jǐn)?shù)部分的余下位數(shù)。

     除了系數(shù)存在量化誤差，數(shù)字濾波器運(yùn)算過程中有限字長效應(yīng)也會造成誤差，因此對濾波器中乘法器、加法器及寄存器的數(shù)據(jù)寬度要也進(jìn)行合理的設(shè)計，以防止產(chǎn)生極限環(huán)現(xiàn)象和溢出振蕩。

IIR數(shù)字濾波器的VHDL描述
    由上一節(jié)設(shè)計出來的IIR數(shù)字濾波器可以進(jìn)一步用VHDL語言加以描述，通過編譯、功能仿真、綜合和時序仿真之后就可以在FPGA上實現(xiàn)了。由于采用了級聯(lián)結(jié)構(gòu)，每一個二階基本節(jié)的VHDL描述都是類似的，只是濾波器的系數(shù)有所不同，下面著重討論二階基本節(jié)的VHDL描述。
     采用VHDL描述的二階基本節(jié)的頂層結(jié)構(gòu)如圖3所示。數(shù)據(jù)在執(zhí)行單元內(nèi)進(jìn)行處理。執(zhí)行單元內(nèi)部包含算術(shù)和邏輯單元以及一些寄存器；算術(shù)和邏輯單元主要由串行乘法器和累加器組成；存儲器包括工作RAM和系數(shù)ROM兩部分，分別用于存放計算的中間結(jié)果和濾波器的系數(shù)；存儲器和執(zhí)行單元通過內(nèi)部總線相連接；控制模塊包括程序ROM和程序控制單元，程序ROM中存放有濾波算法的程序，程序控制單元用于解釋指令并為數(shù)據(jù)處理模塊產(chǎn)生控制信號。
 
    此結(jié)構(gòu)既可以接收串行輸入的數(shù)據(jù)，也可以接收并行輸入的數(shù)據(jù)，通過SEL進(jìn)行設(shè)置。外部CPU可以通過READ信號來訪問濾波器的計算結(jié)果，另外，外部CPU也可以通過地址總線A[3:0]對內(nèi)部的存儲器進(jìn)行訪問，用WRITE信號對濾波器系數(shù)進(jìn)行寫操作，這樣外部CPU就可以根據(jù)自己的需要對濾波器進(jìn)行配置，靈活地實現(xiàn)各種功能。 各信號的含義如下：

• CLK：系統(tǒng)時鐘；
• RES：異步全局復(fù)位信號，低有效；
• SDATA：串行輸入數(shù)據(jù)；
• PDATA：并行輸入數(shù)據(jù)；
• SEL：設(shè)置輸入數(shù)據(jù)為并行還是串行；
• READ：讀信號，低有效；
• WRITE：寫信號，低有效；
• SRES：同步復(fù)位信號，高有效；
• CLKI：外部CPU時鐘；
• A[3:0]：外部CPU訪問內(nèi)部寄存器的地址總線；
• OUT：輸出數(shù)據(jù)。

    內(nèi)部算術(shù)與邏輯單元是整個濾波器的核心，它的結(jié)構(gòu)如圖4所示。
 
    計算過程是，X、Y為輸入數(shù)據(jù)，通過選擇器進(jìn)入乘法器，算術(shù)與邏輯單元從系數(shù)ROM中讀取濾波器的系數(shù)用以輸入數(shù)據(jù)相乘，相乘的結(jié)果與前一步的結(jié)果相加進(jìn)入累加器，累加器讀取上一步計算的中間結(jié)果A并計算，最后將此步計算的結(jié)果M存入到RAM中去。

結(jié)語
   本文介紹了一種采用級聯(lián)結(jié)構(gòu)在FPGA上實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的方法。在實際使用中，可以根據(jù)不同精度要求，方便地對該IIR濾波器進(jìn)行修改以滿足不同的指標(biāo)要求，靈活地組成任意階不同類型的濾波器。同時，在系統(tǒng)運(yùn)行中，外部CPU可以靈活修改濾波器系數(shù)，改變?yōu)V波器的頻率響應(yīng)，滿足特定的應(yīng)用要求。