基于FPGA 的解決方案具有眾多優(yōu)勢(shì)，其中之一就是能夠針對(duì)眼前的問題采用最佳的方式來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)算法。例如，如果響應(yīng)時(shí)間至關(guān)重要，我們就簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算步驟。如果注重運(yùn)算結(jié)果的精度，我們就使用更多的位來(lái)確保達(dá)到預(yù)期的精度。當(dāng)然，很多新型FPGA 還具有嵌入式乘法器和DSP slice 的優(yōu)勢(shì)，可用于在目標(biāo)器件中獲得最佳的實(shí)現(xiàn)性能。

讓我們了解一下在FPGA 或其它可編程器件內(nèi)開發(fā)數(shù)學(xué)函數(shù)所使用的規(guī)則與方法。

數(shù)字的表示方式

在一種設(shè)計(jì)方案中可以使用兩種數(shù)字表示方式，即定點(diǎn)數(shù)與浮點(diǎn)數(shù)。定點(diǎn)表示法中小數(shù)點(diǎn)位置固定不變，可以直接進(jìn)行算數(shù)運(yùn)算。定點(diǎn)數(shù)的主要缺點(diǎn)是如果要表示一個(gè)較大的數(shù)或者得到一個(gè)更精確的小數(shù)值，就需要使用若干個(gè)位。定點(diǎn)數(shù)由兩部分構(gòu)成：整數(shù)和小數(shù)。

浮點(diǎn)表示法中小數(shù)點(diǎn)位置隨數(shù)值的大小在不同位置浮動(dòng)。浮點(diǎn)數(shù)同樣也可分為兩部分：指數(shù)和尾數(shù)。這種表示方法類似于科學(xué)計(jì)數(shù)法，科學(xué)技術(shù)法是將一個(gè)數(shù)表示為A 乘以10 的B 次冪，其中A 為尾數(shù)、B 為指數(shù)。但在浮點(diǎn)數(shù)中，指數(shù)部分的基數(shù)是2，即A 乘以2 的B次冪。IEEE/ANSI 754-1985 標(biāo)準(zhǔn)對(duì)浮點(diǎn)數(shù)表示法進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化?；綢EEE 浮點(diǎn)數(shù)使用8 位指數(shù)和24 位尾數(shù)。

由于浮點(diǎn)數(shù)的表示法存在一定的復(fù)雜性，我們作為設(shè)計(jì)人員應(yīng)盡可能多地采用定點(diǎn)表示法。上述浮點(diǎn)數(shù)采用補(bǔ)碼表示法， 其無(wú)符號(hào)數(shù)表示范圍介于0.0 ～255.9906375 之間，有符號(hào)數(shù)表示范圍介于-128.9906375～ 127.9906375 之間。您在一種設(shè)計(jì)方案中既可以使用無(wú)符號(hào)數(shù)也可以使用有符號(hào)數(shù)，這通常取決于您所用的算法。無(wú)符號(hào)數(shù)的表示范圍為0 ～ 2n-1，始終表示正數(shù)。

相比之下，有符號(hào)數(shù)的表示范圍則取決于所采用的編碼方案，即符號(hào)數(shù)值表示法（即原碼）、1 的補(bǔ)碼（即反碼）或2 的補(bǔ)碼（即補(bǔ)碼）。

原碼中最左邊的位表示數(shù)的符號(hào)（0 為正，1 為負(fù)）。其余的位表示數(shù)值的大小。在這種表示方法中，正數(shù)和負(fù)數(shù)的絕對(duì)值相同，但是符號(hào)位不同。因此，原碼方案中存在正零和負(fù)零。

正數(shù)的反碼與其原碼的無(wú)符號(hào)數(shù)相同。負(fù)數(shù)的反碼為正數(shù)按位取反。

補(bǔ)碼是使用最廣泛的有符號(hào)數(shù)編碼方案。這里與其它兩種編碼方案一樣，正數(shù)與無(wú)符號(hào)數(shù)的表示形式相同，而負(fù)數(shù)的二進(jìn)制表達(dá)式與絕對(duì)值相同的正數(shù)相加后等于0。計(jì)算負(fù)數(shù)補(bǔ)碼時(shí)，首先將正數(shù)按位取反，然后再加1。補(bǔ)碼允許您將兩個(gè)數(shù)的減法按照加法來(lái)處理。補(bǔ)碼可以表示的范圍是：

將一個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換為補(bǔ)碼格式的方法是按從右至左的順序按位遍歷，從遇到的第一個(gè)“1”開始將二進(jìn)制位按位取反，而之前的二進(jìn)制位保持不變。

定點(diǎn)運(yùn)算

在定點(diǎn)數(shù)中，通常用x 和y 來(lái)區(qū)分整數(shù)位和小數(shù)位，其中x 表示整數(shù)位的數(shù)量，y 表示小數(shù)位的數(shù)量。例如，8，8 表示8 個(gè)整數(shù)位和8 個(gè)小數(shù)位；16，0 表示16 個(gè)整數(shù)位和0 個(gè)小數(shù)位。在很多情況下，您通常需要在設(shè)計(jì)階段根據(jù)浮點(diǎn)算法轉(zhuǎn)換來(lái)確定所需的整數(shù)和小數(shù)位數(shù)量。得益于FPGA 的靈活性，我們可以表達(dá)任意二進(jìn)制長(zhǎng)度的定點(diǎn)數(shù)；整數(shù)位的數(shù)量取決于需要存儲(chǔ)的最大整數(shù)值，而小數(shù)位的數(shù)量取決于最終結(jié)果的精度。我們利用以下公式來(lái)確定整數(shù)位的數(shù)量：

例如，要表示0.0 ～ 423.0 范圍內(nèi)的數(shù)值，所需整數(shù)位的數(shù)量為：

這表示您需要9 個(gè)整數(shù)位，可以代表0 ～ 511 范圍內(nèi)的數(shù)。利用16 個(gè)位來(lái)表示這個(gè)數(shù)時(shí)，可以有7 個(gè)位用于表示小數(shù)。利用下面的等式計(jì)算這種表達(dá)方式所能提供的精度：

您可以增加小數(shù)位的數(shù)量，進(jìn)而提高定點(diǎn)數(shù)的精度。在設(shè)計(jì)過(guò)程中，我們有時(shí)希望只存儲(chǔ)小數(shù)（0，16）， 這主要取決于您希望將精度提高到多少。利用216 進(jìn)行擴(kuò)展可能依然無(wú)法達(dá)到足夠高的精度。這種情況下，您可以用2 的冪次方來(lái)放大這個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)可以用16 個(gè)位來(lái)表示。然后，您可以在下一階段刪除這個(gè)比例因子。例如，為了用16 個(gè)位來(lái)表示1.45309806319x10-4，第一步需要將這個(gè)數(shù)與216 相乘。

只存儲(chǔ)結(jié)果的整數(shù)部分（9）將導(dǎo)致這個(gè)數(shù)的實(shí)際存儲(chǔ)值為1.37329101563x10-4（9 / 65536）。需要存儲(chǔ)的數(shù)值與實(shí)際存儲(chǔ)的數(shù)值之間差值較大，可能導(dǎo)致出現(xiàn)無(wú)法接受的錯(cuò)誤計(jì)算結(jié)果。您可以按照比例因子2 來(lái)放大這個(gè)數(shù)，以獲取更精確的結(jié)果。結(jié)果介于32768-65535之間，因此仍然可以用一個(gè)16 位的數(shù)字來(lái)存儲(chǔ)。利用此前存儲(chǔ)1.45309806319x10-4 的實(shí)例，將這個(gè)數(shù)與比例因子228 相乘將產(chǎn)生一個(gè)可以用16 個(gè)位來(lái)存儲(chǔ)的數(shù)，并使預(yù)期的數(shù)值具有更高的精度。

假定在接下來(lái)的計(jì)算過(guò)程中您可以解決用比例因子228進(jìn)行放大的問題， 那么結(jié)果的整數(shù)部分將給予您1.45308673382x10-4 的存儲(chǔ)結(jié)果，并使得計(jì)算結(jié)果具有更高精度。例如，將已擴(kuò)展的數(shù)與一個(gè)16 個(gè)位格式為4，12 的數(shù)相乘，產(chǎn)生了4，40（28 + 12）形式的結(jié)果。但是，這個(gè)結(jié)果將以32 位來(lái)存儲(chǔ)。

定點(diǎn)規(guī)則

在執(zhí)行加法、減法或除法時(shí)，2 個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)必須對(duì)齊。這就是說(shuō)您只可以將一個(gè)表示格式為x，8 的數(shù)與另一個(gè)表示格式也為x，8 的數(shù)相加、相減或相除。對(duì)具有不同格式的x 和y 進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算時(shí)，您首先應(yīng)保證小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。為了對(duì)齊不同格式的數(shù)字，您有兩個(gè)選擇：將帶有更多整數(shù)位的數(shù)與2X 相乘，或者將具有最小整數(shù)位的數(shù)除以2X。但是，除法會(huì)降低結(jié)果的精度，還可能導(dǎo)致結(jié)果超出容許公差。由于所有的數(shù)都可以利用兩種形式來(lái)存儲(chǔ)，這樣您在FPGA 中通過(guò)移位操作可以很方便地對(duì)數(shù)進(jìn)行放大或縮小，其中左移或右移1 位分別放大或縮小了1 倍，實(shí)現(xiàn)十進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)的對(duì)齊。為了對(duì)兩個(gè)格式分別為8，8和9，7 的兩個(gè)數(shù)相加，如果可以接受最低有效位的丟失，則您可以利用比例因子21 來(lái)放大格式為9，7 的數(shù)，也可以將格式為8，8 的數(shù)縮小至格式為9，7。

例如，您打算將234.58 和312.732 這兩個(gè)數(shù)相加，而它們分別以8，8 和9，7 的格式來(lái)存儲(chǔ)。第一步，確定實(shí)際相加的16 位數(shù)。

從上可以看出，兩個(gè)加數(shù)分別為60052 和40029。但是，在相加之前，您必須對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)。通過(guò)放大帶有更多整數(shù)位的數(shù)來(lái)對(duì)齊十進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)，您必須利用因子21 來(lái)放大9，7 格式的數(shù)。

然后，您通過(guò)執(zhí)行加法來(lái)計(jì)算結(jié)果：

以10，8 格式（140110 / 28）表示，則為547.3046875。

當(dāng)兩個(gè)數(shù)相乘時(shí)，您無(wú)需對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)，因?yàn)槌朔ㄌ峁┝朔秶荴1 + X2，Y1 + Y2 的結(jié)果。將格式分別為14，2 和10，6 的兩個(gè)數(shù)相乘將得出一個(gè)整數(shù)位為24，小數(shù)位為8 的結(jié)果。

通過(guò)與除數(shù)的倒數(shù)相乘這種方法，在一個(gè)式子中您可以采用與小數(shù)相乘來(lái)代替除法。這種途徑可以顯著降低設(shè)計(jì)的復(fù)雜性。例如，將212.732（以9，7（40029）格式來(lái)表示）除以15，第一步是計(jì)算除數(shù)的倒數(shù)。

這個(gè)倒數(shù)必須被放大，以16 位數(shù)的形式來(lái)表示。

將這兩個(gè)數(shù)相乘，得出格式為9，23 的結(jié)果。

相除結(jié)果為：

當(dāng)預(yù)期的結(jié)果是20.8488，如果結(jié)果的精度不夠高，則您可以利用一個(gè)更大的比例因子來(lái)放大這個(gè)倒數(shù)，以得到更精確的結(jié)果。因此，當(dāng)可以與一個(gè)數(shù)的倒數(shù)相乘時(shí)，永遠(yuǎn)不要除以這個(gè)數(shù)。

溢出問題

在實(shí)現(xiàn)算法時(shí)，結(jié)果必須不大于結(jié)果寄存器可以存儲(chǔ)的最大值。否則，就會(huì)發(fā)生溢出。當(dāng)溢出發(fā)生時(shí)，存儲(chǔ)結(jié)果就會(huì)有誤，最高幾位會(huì)丟失。溢出的最簡(jiǎn)單實(shí)例是將2個(gè)16 位的數(shù)相加，每個(gè)數(shù)的值都是65535，然后將結(jié)果存儲(chǔ)在16 位寄存器中。

上述計(jì)算將使得這個(gè)16 位結(jié)果寄存器中的值為65534，但這個(gè)結(jié)果不正確。防止溢出的最簡(jiǎn)單方式是確定數(shù)學(xué)運(yùn)算允許的最大值，利用這個(gè)方程來(lái)確定所需結(jié)果寄存器的大小。

如果您正在開發(fā)一個(gè)平均器，計(jì)算50 個(gè)16 位輸入值的平均值，則可以計(jì)算所需結(jié)果寄存器的大小。

仍然利用同一個(gè)方程，需要一個(gè)22 位結(jié)果寄存器來(lái)防止溢出的發(fā)生。您也必須注意，在處理有符號(hào)數(shù)時(shí)，如果遇到了負(fù)數(shù)，應(yīng)該避免發(fā)生溢出。仍然利用此前的平均器實(shí)例，計(jì)算10 個(gè)有符號(hào)長(zhǎng)度為16 位的數(shù)的平均值，返回一個(gè)16 位的結(jié)果。

因?yàn)楹芊奖愕貙⒔Y(jié)果與除數(shù)倒數(shù)的擴(kuò)展值相乘，您將這個(gè)數(shù)與1/10 ? 65536 = 6554 相乘來(lái)確定平均值。

這個(gè)數(shù)除以216 等于-32770， 但16 位的輸出結(jié)果無(wú)法正確地表示這個(gè)數(shù)。因此，模塊的設(shè)計(jì)過(guò)程必須考慮溢出，必須檢測(cè)溢出，以確保不會(huì)輸出不正確的結(jié)果。

現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)現(xiàn)方式

假設(shè)您正在設(shè)計(jì)一個(gè)模塊，用于實(shí)現(xiàn)一個(gè)轉(zhuǎn)換氣壓的轉(zhuǎn)移函數(shù)，其中氣壓的單位是毫巴，海拔的單位是米。

輸入值的范圍是0 ～ 10 毫巴，分辨率是0.1 毫巴。模塊輸出要求精確到+/-0.01 米。因?yàn)槟K規(guī)范沒有確定輸入刻度，您可以通過(guò)下列等式來(lái)計(jì)算。

因此，為了實(shí)現(xiàn)最高的精度，您應(yīng)將輸入數(shù)據(jù)的格式設(shè)置為4 個(gè)整數(shù)位，12 個(gè)小數(shù)位。開發(fā)這個(gè)模塊的下一步任務(wù)就是利用未擴(kuò)展值并通過(guò)電子數(shù)據(jù)表計(jì)算出整個(gè)輸入范圍內(nèi)轉(zhuǎn)換函數(shù)的預(yù)期結(jié)果。如果輸入范圍過(guò)大而無(wú)法獲得合理的結(jié)果，則計(jì)算可接受的點(diǎn)數(shù)量。例如， 您使用100 個(gè)條目來(lái)確定整個(gè)輸入范圍的預(yù)期結(jié)果。在您計(jì)算出最初的非擴(kuò)展預(yù)期值之后，下一步是確定正確的常數(shù)比例因子，利用擴(kuò)展值來(lái)計(jì)算預(yù)期的輸出結(jié)果。為了實(shí)現(xiàn)最高的精度，您應(yīng)利用不同的因子來(lái)放大該式中每個(gè)常數(shù)。

多項(xiàng)式中第一個(gè)常數(shù)（A）的比例因子為：

多項(xiàng)式中第二個(gè)常數(shù)（B）的比例因子為：

因?yàn)樽詈蟮亩囗?xiàng)式常數(shù)（C）是一個(gè)純小數(shù)，所以利用比例因子216 來(lái)放大它。

通過(guò)這些比例因子用戶可以計(jì)算出擴(kuò)展的電子數(shù)據(jù)表，如表1 所示。每一階段的計(jì)算結(jié)果將得出超過(guò)16 位的結(jié)果。

Cx2 的計(jì)算得出32 位、格式為4，12 + 4，12 = 8，24 的結(jié)果。然后與常數(shù)C 相乘，得出了48 位、格式為8，24 + 0，16 = 8，40 的結(jié)果。對(duì)于這個(gè)實(shí)例所要求的精度來(lái)說(shuō)，利用40 位來(lái)表示小數(shù)有點(diǎn)多。因此，將這個(gè)計(jì)算結(jié)果除以232，以得出16 位、格式為8，8 的結(jié)果。在計(jì)算Bx 過(guò)程中，也將結(jié)果減小至16 位，以得出格式為5，11 的結(jié)果。

計(jì)算結(jié)果是Cx2，Bx 與A 列中對(duì)應(yīng)數(shù)之和。但是，為了獲得正確的結(jié)果，您首先必須擴(kuò)大A 和Cx2 ，并按x，11 格式對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)，或者縮小Bx 的計(jì)算結(jié)果并按8，8格式對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)，最終將小數(shù)點(diǎn)與A 和Cx2 的計(jì)算值的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

在這個(gè)例子中，我們將計(jì)算結(jié)果縮小23 倍，按8，8格式來(lái)對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)。這種方法簡(jiǎn)化了需要移位的數(shù)量，因此減小了實(shí)現(xiàn)這個(gè)實(shí)例所需邏輯單元的數(shù)量。注意如果您通過(guò)縮小來(lái)對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)的方式而沒有實(shí)現(xiàn)要求的精度時(shí)，則必須擴(kuò)大A 和Cx2 的計(jì)算結(jié)果來(lái)對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)。在這個(gè)實(shí)例中，計(jì)算結(jié)果擴(kuò)大了28。然后，您可以縮小這個(gè)結(jié)果，將其與從未擴(kuò)展值中獲取的結(jié)果比較。實(shí)際計(jì)算結(jié)果和預(yù)期結(jié)果之間的差值表示精度，利用電子數(shù)據(jù)表中MAX（） 和MIN（） 命令來(lái)獲得計(jì)算結(jié)果的最大誤差和最小誤差，而您在電子數(shù)據(jù)表?xiàng)l目的整個(gè)范圍內(nèi)都可以獲取計(jì)算結(jié)果的這兩個(gè)誤差。

當(dāng)基于電子數(shù)據(jù)表的計(jì)算結(jié)果確認(rèn)了您已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了所要求的精度，則可以編寫并仿真RTL 代碼。如果需要，您可以設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試平臺(tái)，例如輸入值與電子數(shù)據(jù)表中的數(shù)據(jù)相同。這允許您將仿真輸出結(jié)果與基于電子數(shù)據(jù)表的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，以確保采用了正確的RTL 實(shí)現(xiàn)方案。

RTL 實(shí)現(xiàn)方案

RTL 實(shí)例利用有符號(hào)并行數(shù)學(xué)運(yùn)算在4 個(gè)時(shí)鐘周期之內(nèi)即可計(jì)算出結(jié)果。因?yàn)椴捎昧擞蟹?hào)的并行乘法，所以應(yīng)該注意到必須正確地處理由乘法產(chǎn)生的額外符號(hào)位。

ENTITY transfer_function IS PORT（

sys_clk ： IN std_logic;

reset ： IN std_logic;

data ： IN std_logic_vector（15 DOWNTO 0）;

new_data ： IN std_logic;

result ： OUT std_logic_vector（15 DOWNTO

0）;

new_res ： OUT std_logic）;

END ENTITY transfer_function;

ARCHITECTURE rtl OF transfer_function IS

-- this module performs the following

transfer function -0.0088x2 + 1.7673x +

131.29

-- input data is scaled 8，8， while the

output data will be scaled 8，8.

-- this module utilizes signed parallel

mathematics

TYPE control_state IS （idle， multiply，

add， result_op）;

CONSTANT c ： signed（16 DOWNTO 0） ：= to_

signed（-577，17）;

CONSTANT b ： signed（16 DOWNTO 0） ：= to_

signed（57910，17）;

CONSTANT a ： signed（16 DOWNTO 0） ：= to_

signed（33610，17）;

SIGNAL current_state ： control_state;

SIGNAL buf_data ： std_logic; --used to

detect rising edge upon the new_data

SIGNAL squared ： signed（33 DOWNTO 0）; --

register holds input squared.

SIGNAL cx2 ： signed（50 DOWNTO 0）;

--register used to hold Cx2

SIGNAL bx ： signed（33 DOWNTO 0）; --

register used to hold bx

SIGNAL res_int ： signed（16 DOWNTO 0）;

--register holding the temporary result

BEGIN

fsm ： PROCESS（reset， sys_clk）

BEGIN

IF reset = ‘1’ THEN

buf_data 《= ‘0’;

squared 《= （OTHERS =》 ‘0’）;

cx2 《= （OTHERS =》 ‘0’）;

bx 《= （OTHERS =》 ‘0’）;

result 《= （OTHERS =》 ‘0’）;

res_int 《= （OTHERS =》 ‘0’）;

new_res 《= ‘0’;

current_state 《= idle;

ELSIF rising_edge（sys_clk） THEN

buf_data 《= new_data;

CASE current_state IS

WHEN idle =》

new_res 《= ‘0’;

IF （new_data = ‘1’） AND （buf_data

= ‘0’） THEN --detect rising edge

new data

squared 《= signed（ ‘0’& data）

* signed（‘0’& data）;

current_state 《= multiply;

ELSE

squared 《= （OTHERS =》‘0’）;

current_state 《= idle;

END IF;

WHEN multiply =》

new_res 《= ‘0’;

cx2 《= （squared * c）;

bx 《= （signed（‘0’& data）* b）;

current_state 《= add;

WHEN add =》

new_res 《= ‘0’;

res_int 《= a + cx2（48 DOWNTO 32）

+

（“000”& bx（32 DOWNTO 19））;

current_state 《= result_op;

WHEN result_op =》

result 《= std_logic_vector（res_

int （res_int‘high -1 DOWNTO 0））;

new_res 《= ’0‘;

current_state 《= idle;

END CASE;

END IF;

END PROCESS;

END ARCHITECTURE rtl;

FPGA 架構(gòu)成為了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)函數(shù)的理想工具，盡管實(shí)現(xiàn)算法需要具有更多的最初想法以及利用MATLAB? 或Excel 等系統(tǒng)級(jí)仿真工具來(lái)建模。一旦掌握了FPGA數(shù)學(xué)運(yùn)算的一些基本知識(shí)，用戶就可以快速地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)算法。