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隨機(jī)梯度下降（Stochastic gradient descent）
批量梯度下降（Batch gradient descent）
梯度下降（GD）是最小化風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)、損失函數(shù)的一種常用方法，隨機(jī)梯度下降和批量梯度下降是兩種迭代求解思路，下面從公式和實(shí)現(xiàn)的角度對(duì)兩者進(jìn)行分析，如有哪個(gè)方面寫的不對(duì)，希望網(wǎng)友糾正。
下面的h(x)是要擬合的函數(shù)，J(theta)損失函數(shù)，theta是參數(shù)，要迭代求解的值，theta求解出來了那最終要擬合的函數(shù)h(theta)就出來了。其中m是訓(xùn)練集的記錄條數(shù)，j是參數(shù)的個(gè)數(shù)。
?
?
1、批量梯度下降的求解思路如下：
（1）將J(theta)對(duì)theta求偏導(dǎo)，得到每個(gè)theta對(duì)應(yīng)的的梯度
?
（2）由于是要最小化風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，所以按每個(gè)參數(shù)theta的梯度負(fù)方向，來更新每個(gè)theta
（3）從上面公式可以注意到，它得到的是一個(gè)全局最優(yōu)解，但是每迭代一步，都要用到訓(xùn)練集所有的數(shù)據(jù)，如果m很大，那么可想而知這種方法的迭代速度！！所以，這就引入了另外一種方法，隨機(jī)梯度下降。
2、隨機(jī)梯度下降的求解思路如下：
（1）上面的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)可以寫成如下這種形式，損失函數(shù)對(duì)應(yīng)的是訓(xùn)練集中每個(gè)樣本的粒度，而上面批量梯度下降對(duì)應(yīng)的是所有的訓(xùn)練樣本：
?
（2）每個(gè)樣本的損失函數(shù)，對(duì)theta求偏導(dǎo)得到對(duì)應(yīng)梯度，來更新theta
（3）隨機(jī)梯度下降是通過每個(gè)樣本來迭代更新一次，如果樣本量很大的情況（例如幾十萬），那么可能只用其中幾萬條或者幾千條的樣本，就已經(jīng)將theta迭代到最優(yōu)解了，對(duì)比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十幾萬訓(xùn)練樣本，一次迭代不可能最優(yōu)，如果迭代10次的話就需要遍歷訓(xùn)練樣本10次。但是，SGD伴隨的一個(gè)問題是噪音較BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向著整體最優(yōu)化方向。
3、對(duì)于上面的linear regression問題，與批量梯度下降對(duì)比，隨機(jī)梯度下降求解的會(huì)是最優(yōu)解嗎？
（1）批量梯度下降---最小化所有訓(xùn)練樣本的損失函數(shù)，使得最終求解的是全局的最優(yōu)解，即求解的參數(shù)是使得風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)最小。
（2）隨機(jī)梯度下降---最小化每條樣本的損失函數(shù)，雖然不是每次迭代得到的損失函數(shù)都向著全局最優(yōu)方向， 但是大的整體的方向是向全局最優(yōu)解的，最終的結(jié)果往往是在全局最優(yōu)解附近。
4、梯度下降用來求最優(yōu)解，哪些問題可以求得全局最優(yōu)？哪些問題可能局部最優(yōu)解？
對(duì)于上面的linear regression問題，最優(yōu)化問題對(duì)theta的分布是unimodal，即從圖形上面看只有一個(gè)peak，所以梯度下降最終求得的是全局最優(yōu)解。然而對(duì)于multimodal的問題，因?yàn)榇嬖诙鄠€(gè)peak值，很有可能梯度下降的最終結(jié)果是局部最優(yōu)。
? ? ? 5、隨機(jī)梯度和批量梯度的實(shí)現(xiàn)差別
以前一篇博文中NMF實(shí)現(xiàn)為例，列出兩者的實(shí)現(xiàn)差別（注：其實(shí)對(duì)應(yīng)Python的代碼要直觀的多，以后要練習(xí)多寫python！
//?隨機(jī)梯度下降，更新參數(shù)??
public?void?updatePQ_stochastic(double?alpha,?double?beta)?{??
for?(int?i?=?0;?i?
ArrayList?Ri?=?this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();??
for?(Feature?Rij?:?Ri)?{??
//?eij=Rij.weight-PQ?for?updating?P?and?Q??
double?PQ?=?0;??
for?(int?k?=?0;?k?
PQ?+=?P[i][k]?*?Q[k][Rij.dim];??
}??
double?eij?=?Rij.weight?-?PQ; ?
//?update?Pik?and?Qkj??
for?(int?k?=?0;?k?
double?oldPik?=?P[i][k];??
P[i][k]?+=?alpha??
*?(2?*?eij?*?Q[k][Rij.dim]?-?beta?*?P[i][k]);??
Q[k][Rij.dim]?+=?alpha??
*?(2?*?eij?*?oldPik?-?beta?*?Q[k][Rij.dim]);??
}??
}??
}??
} ?
//?批量梯度下降，更新參數(shù)??
public?void?updatePQ_batch(double?alpha,?double?beta)?{ ?
for?(int?i?=?0;?i?
ArrayList?Ri?=?this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature(); ?
for?(Feature?Rij?:?Ri)?{??
?
//?Rij.error=Rij.weight-PQ?for?updating?P?and?Q??
double?PQ?=?0;??
for?(int?k?=?0;?k?
PQ?+=?P[i][k]?*?Q[k][Rij.dim];??
}??
Rij.error?=?Rij.weight?-?PQ;??
}??
} ?
for?(int?i?=?0;?i?
ArrayList?Ri?=?this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();??
for?(Feature?Rij?:?Ri)?{??
for?(int?k?=?0;?k?
//?對(duì)參數(shù)更新的累積項(xiàng)??
double?eq_sum?=?0;??
double?ep_sum?=?0;??
?
for?(int?ki?=?0;?ki?
ArrayList?tmp?=?this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();??
for?(Feature?Rj?:?tmp)?{??
if?(Rj.dim?==?Rij.dim)??
ep_sum?+=?P[ki][k]?*?Rj.error;??
}??
}??
for?(Feature?Rj?:?Ri)?{//?固定k和i之后,對(duì)多有j項(xiàng)加和??
eq_sum?+=?Rj.error?*?Q[k][Rj.dim];??
} ?
//?對(duì)參數(shù)更新 ?
P[i][k]?+=?alpha?*?(2?*?eq_sum?-?beta?*?P[i][k]);??
Q[k][Rij.dim]?+=?alpha?*?(2?*?ep_sum?-?beta?*?Q[k][Rij.dim]);??
}??
}??
}??
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