本文簡(jiǎn)明講述GMM-HMM在語音識(shí)別上的原理，建模和測(cè)試過程。

　　1. 什么是Hidden Markov Model？

　　HMM要解決的三個(gè)問題：

　　1） Likelihood

　　2） Decoding

　　3） Training

　　2. GMM是什么？怎樣用GMM求某一音素（phoneme）的概率？

　　3. GMM+HMM大法解決語音識(shí)別

　　3.1 識(shí)別

　　3.2 訓(xùn)練

　　3.2.1 Training the params of GMM

　　3.2.2 Training the params of HMM

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　　1. 什么是Hidden Markov Model？

　　ANS：一個(gè)有隱節(jié)點(diǎn)（unobservable）和可見節(jié)點(diǎn)（visible）的馬爾科夫過程（見詳解）。

　　隱節(jié)點(diǎn)表示狀態(tài)，可見節(jié)點(diǎn)表示我們聽到的語音或者看到的時(shí)序信號(hào)。

　　最開始時(shí)，我們指定這個(gè)HMM的結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練HMM模型時(shí)：給定n個(gè)時(shí)序信號(hào)y1...yT（訓(xùn)練樣本）， 用MLE（typically implemented in EM） 估計(jì)參數(shù)：

　　1. N個(gè)狀態(tài)的初始概率

　　2. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率a

　　3. 輸出概率b

　　--------------

　　在語音處理中，一個(gè)word由若干phoneme（音素）組成；

　　每個(gè)HMM對(duì)應(yīng)于一個(gè)word或者音素（phoneme）

　　一個(gè)word表示成若干states，每個(gè)state表示為一個(gè)音素

　　用HMM需要解決3個(gè)問題：

　　1） Likelihood： 一個(gè)HMM生成一串observation序列x的概率< the Forward algorithm>

　　其中，αt（sj）表示HMM在時(shí)刻t處于狀態(tài)j，且observation = {x1，。。.，xt}的概率

，

　　aij是狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率，

　　bj（xt）表示在狀態(tài)j的時(shí)候生成xt的概率，

　　2）Decoding： 給定一串observation序列x，找出最可能從屬的HMM狀態(tài)序列< the Viterbi algorithm>

　　在實(shí)際計(jì)算中會(huì)做剪枝，不是計(jì)算每個(gè)可能state序列的probability，而是用Viterbi approximation：

　　從時(shí)刻1：t，只記錄轉(zhuǎn)移概率最大的state和概率。

　　記Vt（si）為從時(shí)刻t-1的所有狀態(tài)轉(zhuǎn)移到時(shí)刻t時(shí)狀態(tài)為j的最大概率：

　　記為：從時(shí)刻t-1的哪個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到時(shí)刻t時(shí)狀態(tài)為j的概率最大；

　　進(jìn)行Viterbi approximation過程如下：

　　然后根據(jù)記錄的最可能轉(zhuǎn)移狀態(tài)序列進(jìn)行回溯：

　　3）Training： 給定一個(gè)observation序列x，訓(xùn)練出HMM參數(shù)λ = {aij， bij} the EM （Forward-Backward） algorithm

　　這部分我們放到“3. GMM+HMM大法解決語音識(shí)別”中和GMM的training一起講

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　　2. GMM是什么？怎樣用GMM求某一音素（phoneme）的概率？

　　2.1 簡(jiǎn)單理解混合高斯模型就是幾個(gè)高斯的疊加...e.g. k=3

　　fig2. GMM illustration and the probability of x

　　2.2 GMM for state sequence

　　每個(gè)state有一個(gè)GMM，包含k個(gè)高斯模型參數(shù)。如”hi“（k=3）：

　　PS：sil表示silence（靜音）

　　fig3. use GMM to estimate the probability of a state sequence given observation {o1， o2， o3}

　　其中，每個(gè)GMM有一些參數(shù)，就是我們要train的輸出概率參數(shù)

　　fig4. parameters of a GMM

　　怎么求呢？和KMeans類似，如果已知每個(gè)點(diǎn)x^n屬于某每類 j 的概率p（j|x^n），則可以估計(jì)其參數(shù)：

　　?

　　其中

　　只要已知了這些參數(shù)，我們就可以在predict（識(shí)別）時(shí)在給定input sequence的情況下，計(jì)算出一串狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率。如上圖要計(jì)算的state sequence 1->2->2概率：

　　fig5. probability of S1->S2->S3 given o1->o2->o3

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　　3. GMM+HMM大法解決語音識(shí)別

　　我們獲得observation是語音waveform， 以下是一個(gè)詞識(shí)別全過程：

　　1）將waveform切成等長(zhǎng)frames，對(duì)每個(gè)frame提取特征（e.g. MFCC），

　　2）對(duì)每個(gè)frame的特征跑GMM，得到每個(gè)frame（o_i）屬于每個(gè)狀態(tài)的概率b_state（o_i）

　　fig6. complete process from speech frames to a state sequence

　　3）根據(jù)每個(gè)單詞的HMM狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率a計(jì)算每個(gè)狀態(tài)sequence生成該frame的概率; 哪個(gè)詞的HMM 序列跑出來概率最大，就判斷這段語音屬于該詞

　　宏觀圖：

　　fig7. Speech recognition， a big framework

　　好了，上面說了怎么做識(shí)別。那么我們?cè)鯓佑?xùn)練這個(gè)模型以得到每個(gè)GMM的參數(shù)和HMM的轉(zhuǎn)移概率什么的呢？

　　①Training the params of GMM

　　GMM參數(shù)：高斯分布參數(shù)：

　　從上面fig4下面的公式我們已經(jīng)可以看出來想求參數(shù)必須要知道P（j|x），即，x屬于第j個(gè)高斯的概率。怎么求捏？

　　fig8. bayesian formula of P（ j | x ）

　　根據(jù)上圖 P（j | x）， 我們需要求P（x|j）和P（j）去估計(jì)P（j|x）。

　　這里由于P（x|j）和P（j）都不知道，需要用EM算法迭代估計(jì)以最大化P（x） = P（x1）*p（x2）*.。.*P（xn）：

　　A. 初始化（可以用kmeans）得到P（j）

　　B. 迭代

　　E（estimate）-step： 根據(jù)當(dāng)前參數(shù) （means， variances， mixing parameters）估計(jì)P（j|x）

　　M（maximization）-step： 根據(jù)當(dāng)前P（j|x） 計(jì)算GMM參數(shù)（根據(jù)fig4 下面的公式：）

　　
?其中

　?、赥raining the params of HMM

　　前面已經(jīng)有了GMM的training過程。在這一步，我們的目標(biāo)是：從observation序列中估計(jì)HMM參數(shù)λ；

　　假設(shè)狀態(tài)->observation服從單核高斯概率分布：

　　則λ由兩部分組成：

　　HMM訓(xùn)練過程：迭代

　　E（estimate）-step： 給定observation序列，估計(jì)時(shí)刻t處于狀態(tài)sj的概率

　　M（maximization）-step： 根據(jù)重新估計(jì)HMM參數(shù)aij.

　　其中，

　　E-step： 給定observation序列，估計(jì)時(shí)刻t處于狀態(tài)sj的概率

　　為了估計(jì)， 定義： t時(shí)刻處于狀態(tài)sj的話，t時(shí)刻未來observation的概率。即

　　這個(gè)可以遞歸計(jì)算：β_t（si）=從狀態(tài) si 轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài) sj 的概率aij * 狀態(tài) i 下觀測(cè)到x_{t+1}的概率bi（x_{t+1}） * t時(shí)刻處于狀態(tài)sj的話{t+1}后observation概率β_{t+1}（sj）

　　即：

　　定義剛才的為state occupation probability，表示給定observation序列，時(shí)刻t處于狀態(tài)sj的概率P（S（t）=sj | X，λ） 。根據(jù)貝葉斯公式p（A|B，C） = P（A，B|C）/P（B|C），有：

　　由于分子p（A，B|C）為

　　其中，αt（sj）表示HMM在時(shí)刻t處于狀態(tài)j，且observation = {x1，。。.，xt}的概率；

　?。?t時(shí)刻處于狀態(tài)sj的話，t時(shí)刻未來observation的概率；

　　且

　　finally， 帶入的定義式有：

　　好，終于搞定！對(duì)應(yīng)上面的E-step目標(biāo)，只要給定了observation和當(dāng)前HMM參數(shù) λ，我們就可以估計(jì)了對(duì)吧 （*^__^*）

　　M-step：根據(jù)重新估計(jì)HMM參數(shù)λ：

　　對(duì)于λ中高斯參數(shù)部分，和GMM的M-step是一樣一樣的（只不過這里寫成向量形式）：

　　對(duì)于λ中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率aij， 定義C（Si->Sj）為從狀態(tài)Si轉(zhuǎn)到Sj的次數(shù)，有

　　實(shí)際計(jì)算時(shí)，定義每一時(shí)刻的轉(zhuǎn)移概率為時(shí)刻t從si->sj的概率：

　　那么就有：

　　把HMM的EM迭代過程和要求的參數(shù)寫專業(yè)點(diǎn)，就是這樣的：