網(wǎng)絡(luò)綜合法得到的低通原型濾波器

本書以后的章節(jié)將要討論許多濾波器的設(shè)計方法，這些方法利用了本章中論述的集總元件低通原型濾波器。我們討論的大多數(shù)低通，高通，帶通和帶阻微波濾波器，它們的主要傳輸特性都來源于它們設(shè)計時使用的低通原型濾波器。這些低通原型濾波器的元件的值最初是用達林頓和其他人發(fā)明的網(wǎng)絡(luò)綜合法獲得的。但是，近來建立了更簡明的方程，能方便的使用計算機程序來計算本書中各種類型的重要的低通原型濾波器的元件數(shù)值，而且，大量濾波器的設(shè)計已經(jīng)被制成表格。本書中的一些表格是從溫伯格的工作中得到的，其他則是斯坦福研究所根據(jù)本書的要求計算出來的。本書中沒有把包括對網(wǎng)絡(luò)綜合法正式的討論，因為在其他地方已經(jīng)廣泛的討論了這些方法，而且為設(shè)計提供的表格使這些討論沒有必要。本章的主要目標是弄清楚已制成表格的原型濾波器，時延網(wǎng)絡(luò)和阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)的特性，以便使他們能被合理的應(yīng)用，來解決第一章中多種微波電路設(shè)計的問題。
必須注意到，第六章中的階梯型傳輸器也可以作為第九章中討論的某些類型的微波濾波器的設(shè)計原型。
4．02濾波器設(shè)計的影像法和網(wǎng)絡(luò)綜合法的比較
正如第三章中所討論的，濾波器某個截面上的影像阻抗和衰減函數(shù)根據(jù)一個無數(shù)相同的濾波器連接在一起來定義。用一個有限的無損耗帶終端電阻的濾波器網(wǎng)絡(luò)會允許影像阻抗只在分散的頻率匹配，并且反射效應(yīng)會導(dǎo)致通帶的極大衰減，就像阻帶邊緣的失真一樣。
在3。08節(jié)中，已經(jīng)討論了設(shè)計終端部分來降低這些反射效應(yīng)的原理。但是這些方法在用影像法進行濾波器設(shè)計時只能有限的降低反射的大小，它們不能準確的給出通呆內(nèi)反射損失的峰值。因此，雖然影像法概念簡單，但是當要求準確的設(shè)計，包括較低的通帶反射損失和準確的帶邊定義時，需要很多的分割嘗試或知道怎樣。
濾波器設(shè)計的網(wǎng)絡(luò)綜合法一般開始于指定一個傳輸函數(shù)（就像公式2。10－6傳輸系數(shù)t），作為綜合頻率p的一個函數(shù)。根據(jù)傳輸函數(shù)，電路的輸入阻抗是p的一個函數(shù)。然后，由多種連續(xù)的部分或獨立的部分的擴展過程，輸入阻抗發(fā)展為給出電路的元件值。通過這些過程得到的電路的傳輸系數(shù)與開始指定的相同，所有的推測工作和分割嘗試被消除。影像概念從沒有這些過程，并且終端的影響已經(jīng)被考慮在傳輸函數(shù)的最初指定中。
一般來說，用影像法設(shè)計的低通濾波器和網(wǎng)絡(luò)綜合法設(shè)計的相同功能的濾波器是非常相似的。但是，用網(wǎng)絡(luò)綜合法設(shè)計出來的濾波器在制定的響應(yīng)時，元件值略有不同。
在接下來的部分中討論的切比雪夫和最平坦轉(zhuǎn)移函數(shù)經(jīng)常被指定作為濾波器應(yīng)用。對于元件數(shù)值在4.05節(jié)中的表格中列出的濾波器，將在4。03節(jié)中精確的推論它們產(chǎn)生的響應(yīng)。而起，將包括從低通集總元件原型近似值出發(fā)設(shè)計微波濾波器。然而，這種近似一般來說在相當大的頻率范圍內(nèi)都非常好，這種原型的使用取決于微波濾波器的參數(shù)，它消除了經(jīng)典影像法內(nèi)在的推測工作。
4．03最平坦和切比雪夫的衰減特性
圖4。03－1顯示了一個典型的最平坦低通濾波器的衰減特性。頻率 處被定義為通帶邊緣，衰減為 。這個特性的數(shù)學(xué)表達為公式（4。03－1）其中公式（4。03－2）圖4。03－1中的響應(yīng)能用4。04和4。05節(jié)中所討論的低通濾波器電路實現(xiàn)，公式（4。03－1）中的參數(shù)n相當于電路中要求的電抗元件的數(shù)目。這種衰減特性得到“最平坦”之名是由于在公式（4。03－1）中方括號內(nèi)的量在 ＝0時有（2n－1）個零點。
在大多數(shù)情況下，最平坦低通濾波器的 北定義為3分貝帶邊點。圖4。03－2顯示了 ，n＝1～15的最平坦濾波器的阻帶衰減特性圖。注意，為了方便，圖中數(shù) 作為橫坐標。在 上加上絕對值符號，這是因為在后面討論從低通變換為帶通或帶阻時，可能會遇上 的值為負的情況，這時的衰減與 的值為正時相同。
另一種用的衰減特性是從圖4。03－3所示的切比雪夫或“等波紋”特性。在這種情況下， 還是通帶內(nèi)的最大分貝衰減， 是等波紋帶邊頻率。圖4。03－3所示的衰減特性可用數(shù)學(xué)表達為公式（4。03－3）和公式(4.03-4) 其中公式(4.03-5)。
這種特性也可以用4。04節(jié)和4。05節(jié)中所描述的濾波器結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，公式(4.03-3)和公式(4.03-4)中的參數(shù)n也是電路中電抗元件數(shù)目。如果n為偶數(shù)，則低通切比雪夫響應(yīng)有n/2個頻率處 ＝0，如果n為奇數(shù)，則有（n＋1）/2個頻率。圖4。03－4到圖4。03－10 顯示了 ＝0。01，0。10，0。20，0。50，1。00，2。00和3。00分貝通帶波紋時切比雪夫的阻帶衰減特性，橫坐標還是 。
將圖4。03－2中的最平坦衰減特性與圖4。03－4到圖4。03－10中的切比雪夫特性相比較是有趣味的。對于給定的通帶衰減 和電抗元件數(shù)目n，切比雪夫濾波器的阻帶衰減斜率陡很多。例如，圖4。03－2中的最平坦衰減特性與圖4。03－10中的切比雪夫衰減特性都是 ＝3分貝，若n＝15，則最平坦原型當 ＝1。7 時， 達到70分貝；對于切比雪夫原型，當 ＝1。18 時， 達到70分貝。與其它特性相比，切比雪夫響應(yīng)經(jīng)常作為首選，因為它的選擇性好。但是，如果濾波器的電抗元件有較明顯的損耗，任何一種通帶響應(yīng)的形狀，會與無損耗時不同，并且這種影響對切比雪夫濾波器特別大。這些問題將在4。13節(jié)中討論。與切比雪夫濾波器相比，最平坦濾波器被認為具有更小的延遲失真。但是，正如4。08節(jié)中所討論的，這不一定正確，這取決于 的大小。
圖4。03－1和圖4。03－3中的最平坦和切比雪夫響應(yīng)并不是這一類型中唯一可能的響應(yīng)，例如，4。09節(jié)和4。10節(jié)中所討論的阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)的切比雪夫響應(yīng)的形狀相似，但是在波紋的底部 不會為0。有時，設(shè)計切比雪夫濾波器使它不僅在通帶有等波紋響應(yīng)，而且在阻帶內(nèi)一個特定的衰減水平上有一個“等波紋”近似。雖然這些濾波器可以用在低頻，但是很難精確的設(shè)計微波頻率上的應(yīng)用。在7。03節(jié)中將討論這種微波濾波器的一種可能的例外。
4．04低通濾波器參數(shù)的定義
本章中討論的低通原型濾波器的元件值 的定義如圖4。04－1所示。（a）顯示了原型濾波器的一種可能的形式，它的對偶形式在(b)中顯示。它們兩個給出了相同的響應(yīng)，因此兩個都可以使用。因為這個網(wǎng)絡(luò)是可逆的，所以左邊的電阻和右邊的電阻都可以定義為信號源的內(nèi)阻。應(yīng)該注意到圖4。04－1中有下列的約定：公式（4。04－1）
使用這些約定的原因是因為當使用一個給定的電路或它的對偶電路時，它們會導(dǎo)出相同形式的方程。除了電路元件值 外，還將使用一個附加的原型參數(shù) 。參數(shù) 是通帶邊緣的頻率，它在這里所討論的最平坦濾波器和切比雪夫濾波器類型中的定義見圖4。03－1和圖4。07節(jié)中討論了它在最平坦時延濾波器中的定義。
本章中討論的原型濾波器的元件數(shù)值都歸一花，使 ＝1， ＝1。使用下列電路元件的變換公式，這些原型可以很容易的變換為其他的阻抗水平和頻率標度。對于電阻和電導(dǎo)，公式（4。04－2）對于電感，公式（4。04－3）對于電容，公式（4。04－4）
在這些公式中，帶撇的量是歸一化原型的，不帶撇的量是響應(yīng)的變換電路的。正如在前面的討論中所指出的，對本章的歸一化原型來說， ＝ =1或 ＝ ＝1。
舉一個例子來說明怎樣實現(xiàn)這種變換，假設(shè)我們有一個低通原型，它的 ＝1。000歐姆， =0.8430法拉， =0.6220亨利， ＝1。3554姆歐。這些是0。1分貝波紋切比雪夫濾波器的元件值，它的等波紋帶邊頻率 ＝1【見表4。05－2（a）中0。1分貝波紋和n＝2時的情況】。假定要求把這個原型變換為 =50歐姆，等波紋帶邊頻率 ＝1000兆赫，那么（ ）=50,( )=1/( 。然后，根據(jù)公式（4。04－2）到（4。04-4）, = 50歐姆, 法拉， 亨利， 姆歐。
4．05雙終端最平坦和切比雪夫原型濾波器
對于雙端都是電阻的最平坦濾波器，響應(yīng)如圖4。03－1， ＝3分貝， ＝1， ＝1，其元件數(shù)值可用下面的公式來計算：
公式（4。05－1）
表4。05－1（a）中給出了這種濾波器的電抗元件數(shù)n＝1到10時的元件值，表4。05－1（b）中給出了這種濾波器的電抗元件數(shù)n＝11到15時的元件值。
對于兩端都是電阻的切比雪夫濾波器，相應(yīng)如圖4。03－3，通帶波紋 分貝， ＝1， ＝1，其元件數(shù)值可用下面的公式來計算：
公式（4。05－2）
然后計算：公式
表表4。05－2（a）中給出這種濾波器的電抗元件數(shù)n＝1到10時的元件值，表4。05－2（b）中給出了這種濾波器的電抗元件數(shù)n＝11到15時的元件值。
應(yīng)該注意的是這節(jié)中討論的所有濾波器原型當n為奇數(shù)時是對稱的。如果n為偶數(shù)，他們具有2。11節(jié)和3。07節(jié)中所提到的反對稱性。在這種情況下，通過一個正實常數(shù) ，可以把網(wǎng)絡(luò)的一半與網(wǎng)絡(luò)的另一半對應(yīng)起來， 可被定義為：公式（4。05－3）
這里的 和 是濾波器終端的電阻。如果 是濾波器梯形網(wǎng)絡(luò)一個分支的阻抗，那么
公式（4。04－4）
其中 是濾波器另一端分支的阻。根據(jù)公式（4。05－4），可以看到濾波器一段的電感感抗與另一端的電容相關(guān)，
公式（4。04－5）
還有，
公式（4。05－6）
因此，如果濾波器是反對稱的，就可以從其中一半元件值求得另一半元件值（就像對稱的濾波器那樣）。
在圖4。04－1中的雙終端最平坦和切比雪夫濾波器中，可以發(fā)現(xiàn)上面所討論的對稱和反對稱特性，設(shè)計濾波器使它在通帶內(nèi)有一個或多個頻率處 ＝0，如圖4。03－1和圖4。03－3中所示。在4。06節(jié)，4。09節(jié)，和4。10節(jié)中所討論的最平坦和切比雪夫濾波器沒有這種特性。在4。07 節(jié)中所討論的最平坦時延濾波器，雖然在 ＝0處 ＝0，但是它不是對稱或反對稱的。
有些較少的情況下可能要求設(shè)計時n大于15。在這些情況下可以增大n＝14或n＝15的設(shè)計，重復(fù)濾波器的兩個中間元件得到很好的近似設(shè)計。這樣，假定希望設(shè)計n＝18，可以增大n＝14的設(shè)計得到n＝18的設(shè)計，把電路在元件 之后斷開，將原件 和 重復(fù)兩次，然后再和元件 以及其他元件相連。這樣，用帶撇的 表示n＝18濾波器的元件數(shù)值，用不帶撇的 表示n＝14濾波器的元件數(shù)值，則n＝1有下列的元件數(shù)值：
當然，這是一種近似方法，但是它的根是：對于給定的切比雪夫波紋，如果n在10左右或更大，則當n改變時，涉及元件的值變化非常小。這一點可以很容易看出，只要比較表4。05－2（b）中左邊各爛中不同n值對應(yīng)的元件數(shù)值。