Power system short-term load forecast by Kalman filter

Li Ming-gan, Sun Jian-li, Liu Pei

(Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074, China)

　　Abstract: Kalman filter algorithm is introduced in this paper firstly, and a set of formula is presented. Then Kalman filter model is used in short-term load forecast. And the model is revised by a approach aims at the specialty of load forecast. Application of these algorithms gains preferably results.
　　Key words: Kalman filter; power load forecast; forecast model

0 前言
　　短期負荷預測是電力系統(tǒng)運行調(diào)度中一項非常重要的內(nèi)容，它是電網(wǎng)安全經(jīng)濟運行的前提，也是調(diào)度安排開停機計劃的基礎，對電網(wǎng)調(diào)度自動控制非常重要，其預測精度直接影響電力系統(tǒng)的經(jīng)濟效益。隨著電力改革的深化，電力市場的進一步開放，高質(zhì)量的短期負荷預測愈顯得重要和迫切。
　　負荷預測的方法較多，傳統(tǒng)的方法有回歸分析法[1]和最小二乘法[2]等，這些方法算法比較簡單，技術(shù)成熟，但因其模型過于簡單，難以將電力系統(tǒng)運行過程中負荷變化的新的信息反映到模型中去，因而預測精度不盡如人意。近年來人們不斷致力于將新的理論與方法應用于負荷預測，并取得了很大進展，提出了混沌模型方法[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡（RBF）[4]、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡方法[5]、專家系統(tǒng)方法[6]等。這些方法取得了比傳統(tǒng)方法更好的預測結(jié)果。
　　卡爾曼濾波（KF）是Kalman于1960年提出的，是采用狀態(tài)方程和觀測方程組成的線性隨機系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型來描述濾波器，并利用狀態(tài)方程的遞推性，按線性無偏最小均方差估計準則，采用遞推算法對濾波器的狀態(tài)變量做最佳估計，從而求得慮掉噪聲的有用信號的最佳估計?？柭鼮V波理論不僅有濾波器模型，它還有預報器模型[7]，通過對模型參數(shù)的估計，實現(xiàn)對觀測序列的預報，因此卡爾曼濾波適合于短期負荷預測。
　　將卡爾曼濾波用于短期負荷預測在國外已有研究，M.Huelsemann, M.D. Seiser等人1998就對用卡爾曼濾波和自相關(guān)進行負荷預測進行了探討[8]，提出了用卡爾曼濾波進行負荷預測的思路，取得了理論上的突破。隨后，Ngan, H.W. 等人也對此方法進行了探討[9]，并取得了一定的進展。國內(nèi)，雖有將卡爾曼濾波其他方面的預測，但用于負荷預測研究的尚屬初探。筆者利用卡爾曼濾波理論建立了電力系統(tǒng)短期負荷預測模型，利用歷史數(shù)據(jù)中的負荷數(shù)據(jù)和氣象數(shù)據(jù)等相關(guān)數(shù)據(jù)，進行了短期負荷的預測。

1 卡爾曼濾波模型簡介
　　考慮線性離散時間系統(tǒng)：
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式中：x是n維狀態(tài)變量，Φ(t+1,t)是n×n的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，B(t)是n×r的輸入噪聲轉(zhuǎn)移矩陣，w(t)是p維的輸入噪聲；y(t)是m維的測量向量，H(t)是m×n維測量矩陣，v(t)是m維的測量噪聲。
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式中：E表示數(shù)學期望，p×p階的輸入噪聲協(xié)方差陣Q(t)是對稱正定的；m×m階的測量噪聲協(xié)方差陣R(g)是對稱正定的。
??? 又設初始狀態(tài)x(0)獨立于w(t)和v(t)，且已知其統(tǒng)計特性為：
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??? 詳細推導過程見[7]。

2 卡爾曼濾波負荷預測模型
??? 以連續(xù)若干天的同一時刻作為一組時間序列，來預測該時刻的下一個負荷值。通常，負荷值可以分為幾個部分：
　
刻的基本負荷，Lpk(t)為前一天同時刻的的負荷值，LTk(t)為該時刻的氣溫，Vk(t)為誤差，HNk(t)、HPk(t)、HTk(t)均為參數(shù)矩陣。由于預測的是某個時刻的值，所以式中的各個量都是一維的。
　　為方便應用卡爾曼濾波理論進行狀態(tài)預測，特作如下變換：
　
式中：yk(t)是觀測值，Hk(t)為觀測矩陣，Φk(t)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Wk(t)為狀態(tài)誤差。由于在本文中狀態(tài)變量是連續(xù)若干天的同一時刻的溫度，它在短期的負荷預測中可以看成是緩變狀態(tài)，因此可令Φk(t)=I,I為單位陣。
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2．1改進模型
??? 在實際預測過程中，一般可以提供預測時刻的氣溫預報值，或者通過幾個點的預報值通過插值獲得其他點的氣溫值。本文提出了預測值修正方法，即在此預測值的基礎上加上溫度修正值的負荷預測方法。
??? 設待預測的第(t+1)天時刻負荷的卡爾曼濾波預測值為yk(t+1|t)，該時刻的狀態(tài)估計值為LTK(t+1|t),，而該預測時刻的氣溫預報值為Tk。狀態(tài)估計值是卡爾曼濾波器通過歷史負荷得到的對系統(tǒng)下一個時刻的狀態(tài)的最佳估計，而預報獲得的系統(tǒng)的新的狀態(tài)值則反映了系統(tǒng)的未來狀態(tài)，因此他們的組合能夠讓預測模型獲得更多的信息，從而得到更加準確的預測值。為利用此信息，可以對預測得到的值進行修正，即在[Tk-LTK(t+1|t)]前乘以一個修正系數(shù)，即：
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式中:bk為修正系數(shù)，可以通過試驗獲得，yk(t+1)為該時刻修正后的負荷預測值。

3 短期負荷的預測實例
??? 用卡爾曼濾波以及改進后的模型對武漢地區(qū)電力負荷進行預測實例計算。在實踐中初始狀態(tài)xk(0|0)，Pk(0|0)很難準確掌握。但由于卡爾曼濾波在遞推過程中不斷用新的信息對狀態(tài)進行修正，所以當濾波時間充分長時，狀態(tài)初值xk(0|0)對xk(t+1|t)的影響將衰減至近于零，初始協(xié)方差陣Pk(0|0)對濾波估計協(xié)方差陣Pk(t+1|t)的影響也將衰減至于零。因此，濾波的初始條件可以近似確定。
??? 每一次遞推運算中，要先求出預測值xk(t+1|t)，然后根據(jù)預測值計算出預測誤差的方差Pk(t+1|t)，由最佳濾波規(guī)則計算卡爾曼增益Kk(t+1)，經(jīng)過卡爾曼增益的誤差補償后獲得最佳濾波值xk(t+1)，再由預測方程計算負荷預測值。
??? 其中溫度參數(shù)在待預測天以前由歷史數(shù)據(jù)獲得，并對其進行濾波估計，而待預測天的溫度則由當天的溫度預報獲得。
??? 引入誤差指標：
??? 相對誤差：
　
??? 應用卡爾曼濾波模型以及改進后的模型對武漢地區(qū)的電力負荷進行實際預測，隨意抽取某一天的預測結(jié)果及誤差見下圖(1)、(2)、(3)、(4)。

　　圖1是該天24小時的卡爾曼濾波預測值與實際值的比較，圖2是24點的卡爾曼濾波的預測誤差，其平均絕對相對誤差為3.43％，圖3是用改進的算法計算該天24小時的負荷值與實際值的比較，圖4為改進后的算法的24點的相對誤差，其平均絕對相對誤差為2.94％，由此可見，改進算法是有效的。

4 小結(jié)
　　本文運用卡爾曼濾波理論建立了短期負荷預測模型，并進行短期負荷預測，通過算例證實了卡爾曼濾波模型預測的可行性。同時針對負荷預測的特點，通過對卡爾曼濾波算法的改進，提高了預測的精度。
　　由于卡爾曼濾波器在遞推過程中不斷用新息對狀態(tài)估計進行修正，所以卡爾曼濾波是漸進穩(wěn)定的，當時間序列足夠長時，初始狀態(tài)的狀態(tài)值、協(xié)方差陣對估計的影響都將衰減為零。所以卡爾曼濾波模型能夠不斷更新狀態(tài)信息，獲得比較準確的估計值。此方法不僅可以用于短期預測，同樣可以用于超短期負荷預測。