射頻微波設(shè)計入門——麥克斯韋方程組

大家好，這是《小木匠帶你入門RF》的第一次課，我們從麥克斯韋（鏈接）開始講起。對于很多其他行業(yè)的人來說，麥克斯韋確實很陌生，遠遠不如電學(xué)領(lǐng)域的安培，法拉第，赫茲，愛迪生，特斯拉名氣大。但對于射頻人來說，這位祖師爺級的大家是預(yù)言電磁波的第一人，是統(tǒng)一電和磁的第一人，也是統(tǒng)一電磁波和光的第一人，更是我們這個無線時代的奠基人。所以當(dāng)我們在刷抖音玩王者的時候，請記住這位先驅(qū)的偉大貢獻——麥克斯韋方程組

圖1?麥克斯韋和麥克斯韋方程的微積分形式

麥克斯韋方程就是圖1中的那兩組方程，左邊是微分形式的方程組，右邊是積分形式的方程組。對于我們很多高等數(shù)學(xué)恐懼癥患者來說，這個方程簡直是噩夢，微積分是什么玩意，▽是什么玩意？中間帶圈的又是什么鬼？我也是，那些字母代表的意思都看得懂，但是前面的符號是什么？這些符號又表示了什么意思？

直到有一篇爆文在朋友圈出現(xiàn)——《最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（微分篇）》《最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（積分篇）》這兩篇文章刷爆了射頻人的朋友圈。咱們祖師爺?shù)耐嬉饩尤槐煌娴倪@么通透？所以小木匠也拼命的學(xué)習(xí)麥克斯韋方程，查資料，論文，甚至都把麥克斯韋最早的論文都翻出來了——““On Physical Lines of Force,”?(1861）”?“A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field,”??(1865)，A Treatise on Electricity and Magnetism, Volume 2?(Oxford, U.K.: Clarendon Press, 1873)

這玩意，看的閱讀越迷糊，有興趣的同學(xué)，可以閱讀一下麥克斯韋的這三篇著作（留言或者加V獲取下載鏈接）。

但是，我們換個角度，拋開那些復(fù)雜的運算符號，去理解麥克斯韋方程，是不是會更容易一點？

先看第一個方程，無論是微分形式還是積分形式，每個方程的左邊都是對電場E的操作。而右邊是一個電荷相關(guān)的量（電荷密度ρ和總電荷Q），也就是他描述的是電場和電荷的關(guān)系。電場和電荷什么關(guān)系呢？很多中學(xué)生就可以脫口而出，電荷產(chǎn)生電場，再去理解這個微分形式和積分形式就簡單了。微分，就是把一個大物體分成很多小塊，而積分就是把很多小塊積累成大物體。麥克斯韋方程式1 的微分形式就是當(dāng)我們對一個分閉曲面趨于無窮小的時候的電場就是它的電荷密度ρ。那么積分形式就是一定封閉曲面內(nèi)的電場的積分就是這個封閉曲面內(nèi)包含的總電荷量。進一步理解，就是這個電場是有源的，產(chǎn)生這個電場的源就是電荷。

這就是我們中學(xué)所學(xué)的電場的高斯定律，庫倫定理的延申。借助下面的圖再理解一下，加深一下印象。

相應(yīng)的，這個第二個方程也就簡單了。左邊的電場E變成了磁感應(yīng)強度B，右邊變成了0. 這又怎么理解呢？比如這第二個方程的微分形式，左邊是一個無限小封閉曲面內(nèi)的磁通量怎么等于0呢？積分形式表示一個封閉曲面內(nèi)的磁通量總和等于0？

確實是這樣的，因為一個磁體，它的磁力線總是閉合的，也就意味著一個封閉曲面內(nèi)穿過多少磁力線，就有多少磁力線回來，總的磁通量為0，也就是說，這個封閉曲面內(nèi)不可能包含一個磁單體，磁力線是閉合的。?因為我們還沒有發(fā)現(xiàn)單磁體，雖然人們還在不斷的研究尋找。是不是當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)了磁單體的時候，這個公式需要改寫？畢竟這條高斯磁定律是高斯在200年前提出的，那時候還是鴉片戰(zhàn)爭時期。

那么后面這兩個公式就更有意思了。左邊是一個空間的函數(shù)，右邊是一個時間的函數(shù)，當(dāng)時間和空間放到一起的時候，變化就產(chǎn)生了。并且還有個有意思的事情，公式的一側(cè)是電場E或者電位移D，而另一側(cè)是磁感應(yīng)強度B或者磁場強度H，（注意E，D，B，H都是矢量，頭頂上都要帶箭頭的），也就是說，通過變化，把磁場和電場聯(lián)系起來了。

這是一個了不起的發(fā)現(xiàn)，這個發(fā)現(xiàn)要歸功于偉大的平民科學(xué)家法拉第，從鞋匠到科學(xué)家的蛻變史，值得我們每一個人學(xué)習(xí)。先看麥克斯韋方程式3，隨時間變化的磁場，可以產(chǎn)生電場，這可是法拉第經(jīng)過了無數(shù)次試驗的一個發(fā)現(xiàn)，電動機也因此而產(chǎn)生，人類開始從蒸汽時代買入電力時代。注意，這個產(chǎn)生的電場和電荷產(chǎn)生的電場是不一樣的，這種感應(yīng)電場為漩渦場。麥克斯韋方程式4 就更直接了，不僅電流J，會產(chǎn)生磁場，變化的電場也會產(chǎn)生磁場。電和磁在這個時候?qū)崿F(xiàn)了歷史性的握手，形成了交替并進的波，把信息送給千家萬戶。

不知道到這，大家對麥克斯韋方程組有沒有看懂。這個時候，我們再返回到奇怪的數(shù)學(xué)的符號：▽x，▽·，這個倒三角 ▽ 稱為哈密頓（?Hamiltonian）算子，讀作“ 那勃樂”，代表對x，y，z坐標系下的微分，在運算中既有微分又有矢量的雙重運算性質(zhì)。

其運算方式比如：

進而延伸出后面的運算▽x，▽·。這兩個在麥克斯韋方程組中起關(guān)鍵作用的運算符號。

▽· 是指散度符號，表示矢量場發(fā)散的強弱程度，物理上表示矢量的有源性，如果散度大于0，就是這個矢量有正源，如果小于0，就是負源，等于零就是沒有源了。

而▽x 是旋度符號，表示矢量場對某一點附近的微元造成的旋轉(zhuǎn)程度。旋度向量的大小則是繞著這個旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的環(huán)量與旋轉(zhuǎn)路徑圍成的面元的面積之比。旋度向量的方向表示向量場在這一點附近旋轉(zhuǎn)度最大的環(huán)量的旋轉(zhuǎn)軸，它和向量旋轉(zhuǎn)的方向滿足右手定則。